Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych ) – układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt
O
{\displaystyle O}
zwany biegunem oraz półprostą
O
S
{\displaystyle OS}
o początku w punkcie
O
{\displaystyle O}
zwaną osią biegunową .
Każdemu punktowi
P
{\displaystyle P}
płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe , jak następuje[1] :
promień wodzący punktu
P
{\displaystyle P}
to jego odległość
|
O
P
|
{\displaystyle |OP|}
od bieguna,
amplituda punktu
P
{\displaystyle P}
to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą
O
S
{\displaystyle OS}
a wektorem
O
P
→
.
{\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.}
Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna
O
{\displaystyle O}
są równe
(
0
,
0
)
.
{\displaystyle (0,0).}
O amplitudzie możemy zakładać, że
0
⩽
φ
<
2
π
{\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi }
(niektórzy autorzy przyjmują
−
π
<
φ
⩽
π
{\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi }
).
Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku .
W XVII w. Cavalieri[2] użył współrzędnych biegunowych, aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego pierwszym „obrotem” spirali Archimedesa .
W 1647 de Saint-Vincent opublikował pracę, w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625.
W 1658 Blaise Pascal używał układu biegunowego do wyznaczenia długości łuków krzywych .
W 1661 James Gregory , szkocki matematyk, użył podobnej metody.
Isaac Newton [3] dyskutował różne układy współrzędnych, m.in. używał układu biegunowego.
Jakoba Bernoulliego używał tego układu w badaniach krzywizny pewnych krzywych. Uważa się go za twórcę biegunowego układu współrzędnych we współczesnej formie.
Według Juliana Coolidge’a (amerykański matematyk i historyk Uniwersytetu Harvarda )[4] pierwszeństwo w stosowaniu układu biegunowego należy przyznać Cavalierierimu albo Saint-Vincentemu .
Związek z układem kartezjańskim [ edytuj | edytuj kod ]
Rysunek pokazujący związek układów biegunowego i kartezjańskiego
Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański
O
X
Y
{\displaystyle OXY}
oraz układ biegunowy z biegunem
O
{\displaystyle O}
i osią biegunową
O
X
.
{\displaystyle OX.}
Przejście od układu biegunowego do kartezjańskiego [ edytuj | edytuj kod ]
Dla danego wektora wodzącego
r
⩾
0
{\displaystyle r\geqslant 0}
i amplitudy
φ
∈
[
0
,
2
π
)
{\displaystyle \varphi \in [0,2\pi )}
punktu
P
,
{\displaystyle P,}
jego współrzędne kartezjańskie są określone wzorami[5] [6] :
{
x
(
r
,
φ
)
=
r
⋅
cos
φ
,
y
(
r
,
φ
)
=
r
⋅
sin
φ
.
{\displaystyle {\begin{cases}x(r,\varphi )=r\cdot \cos \varphi ,\\y(r,\varphi )=r\cdot \sin \varphi .\end{cases}}}
Jakobian przejścia wynosi
D
(
x
,
y
)
D
(
r
,
φ
)
=
|
∂
x
∂
r
∂
x
∂
φ
∂
y
∂
r
∂
y
∂
φ
|
=
|
cos
φ
−
r
sin
φ
sin
φ
r
cos
φ
|
{\displaystyle {\frac {D(x,y)}{D(r,\varphi )}}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{matrix}}\right|}
=
r
(
cos
2
φ
+
sin
2
φ
)
=
r
.
{\displaystyle =r(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )=r.}
Przejście od układu kartezjańskiego do biegunowego [ edytuj | edytuj kod ]
Dla punktu
P
{\displaystyle P}
o współrzędnych kartezjańskich
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa [6] [7] :
r
=
x
2
+
y
2
.
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}
Jeśli
r
≠
0
{\displaystyle r\neq 0}
i
x
≠
0
,
{\displaystyle x\neq 0,}
to z definicji funkcji tangens :
tg
φ
=
y
x
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\varphi ={\tfrac {y}{x}}}
[7] ,
zatem amplituda
φ
{\displaystyle \varphi }
tego punktu jest dana wzorem[8] :
φ
=
arctg
(
y
x
)
{\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} \;\left({\tfrac {y}{x}}\right)}
(o ile dopuszczamy ujemne wartości
φ
{\displaystyle \varphi }
).
Natomiast aby otrzymać
0
⩽
φ
<
2
π
,
{\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi ,}
należy rozważyć następujące przypadki:
φ
=
{
arctg
(
y
x
)
,
gdy
x
>
0
oraz
y
⩾
0
arctg
(
y
x
)
+
2
π
,
gdy
x
>
0
oraz
y
<
0
arctg
(
y
x
)
+
π
,
gdy
x
<
0
π
2
,
gdy
x
=
0
oraz
y
>
0
3
π
2
,
gdy
x
=
0
oraz
y
<
0
,
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}}),&{\mbox{gdy }}x>0{\mbox{ oraz }}y\geqslant 0\\\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}})+2\pi ,&{\mbox{gdy }}x>0{\mbox{ oraz }}y<0\\\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}})+\pi ,&{\mbox{gdy }}x<0\\{\tfrac {\pi }{2}},&{\mbox{gdy }}x=0{\mbox{ oraz }}y>0\\{\tfrac {3\pi }{2}},&{\mbox{gdy }}x=0{\mbox{ oraz }}y<0\end{cases}},}
gdzie
arctg
{\displaystyle \operatorname {arctg} }
oznacza funkcję arcus tangens . W zakresie kątów
(
−
π
,
π
)
{\displaystyle (-\pi ,\pi )}
można ten zapis uprościć do
φ
=
arccos
(
x
r
)
sgn
(
y
)
,
{\displaystyle \varphi =\arccos \left({\tfrac {x}{r}}\right)\;\operatorname {sgn}(y),}
gdzie
sgn
{\displaystyle \operatorname {sgn} }
oznacza funkcję signum .
Równania biegunowe krzywych algebraicznych [ edytuj | edytuj kod ]
Krzywą algebraiczną nazywa się krzywą płaską , której równanie w układzie współrzędnych kartezjańskich jest wielomianem
W
(
x
,
y
)
{\displaystyle W(x,y)}
zmiennych
x
,
y
.
{\displaystyle x,y.}
Stopniem krzywej algebraicznej – to maksymalny stopień wszystkich składników wielomianu postaci
x
i
y
j
.
{\displaystyle x^{i}y^{j}.}
Równaniami biegunowymi krzywych nazywa się równania krzywych algebraicznych zapisane w układzie biegunowym. Dla wielu krzywych równania te cechuje szczególna symetria lub prostota.
Okrąg o równaniu
r
(
φ
)
=
1
{\displaystyle r(\varphi )=1}
Okrąg o środku w punkcie
(
r
0
,
φ
0
)
{\displaystyle (r_{0},\varphi _{0})}
i promieniu
a
>
0
{\displaystyle a>0}
jest opisany przez równanie
r
2
−
2
r
r
0
cos
(
φ
−
φ
0
)
+
r
0
2
=
a
2
.
{\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})+r_{0}^{2}=a^{2}.}
Okrąg jest krzywą algebraiczną 2-go stopnia. Gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, to równanie okręgu przybiera szczególnie prostą postać
r
=
a
.
{\displaystyle r=a.}
Róża o równaniu
r
(
φ
)
=
2
sin
(
4
φ
)
{\displaystyle r(\varphi )=2\sin(4\varphi )}
Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie
r
=
a
cos
(
k
φ
+
φ
0
)
,
{\displaystyle r=a\cos(k\varphi +\varphi _{0}),}
gdzie
φ
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
jest dowolną stałą,
a
{\displaystyle a}
jest parametrem wyznaczającym długość „płatków” róży, a
k
{\displaystyle k}
jest parametrem wyznaczającym liczbę i formę „płatków” róży.
Jeśli
k
{\displaystyle k}
jest nieparzystą liczbą całkowitą , to róża będzie miała
k
{\displaystyle k}
płatków, a jeśli
k
{\displaystyle k}
jest parzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała
2
k
{\displaystyle 2k}
płatków. Dla innych wartości
k
{\displaystyle k}
kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.
Jedno ramię spirali Archimedesa o równaniu
r
(
φ
)
=
φ
{\displaystyle r(\varphi )=\varphi }
dla
0
<
φ
<
6
π
{\displaystyle 0<\varphi <6\pi }
Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie
r
=
a
+
b
φ
.
{\displaystyle r=a+b\varphi .}
Parametry
a
,
b
{\displaystyle a,b}
w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana
a
{\displaystyle a}
spowoduje obrócenie krzywej, a wartość
b
{\displaystyle b}
wyznacza odległość pomiędzy ramionami.
Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie
φ
=
φ
0
,
{\displaystyle \varphi =\varphi _{0},}
gdzie
φ
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
to nachylenie prostej.
Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej i przecina ją w punkcie
(
r
0
,
φ
0
)
,
{\displaystyle (r_{0},\varphi _{0}),}
zadana jest przez równanie
r
=
r
0
sec
(
φ
−
φ
0
)
.
{\displaystyle r=r_{0}\sec(\varphi -\varphi _{0}).}
Elipsa z zaznaczonym parametrem
p
{\displaystyle p}
(„semilatus rectum” – zielony kolor)
Wszystkie krzywe stożkowe można opisać w układzie współrzędnych biegunowych prostym równaniem (gdy jedno z ognisk pokrywa się z biegunem
O
{\displaystyle O}
układu, a drugie ognisko leży na osi biegunowej
O
S
{\displaystyle OS}
):
r
=
p
1
−
e
cos
φ
,
{\displaystyle r={\frac {p}{1-e\cos \varphi }},}
gdzie:
r
,
φ
{\displaystyle r,\varphi }
– współrzędne biegunowe punktu krzywej,
e
{\displaystyle e}
– mimośród , decydujący o typie krzywej (
e
=
0
{\displaystyle e=0}
– okrąg ,
0
<
e
<
1
{\displaystyle 0<e<1}
– elipsa ,
e
=
1
{\displaystyle e=1}
– parabola ,
e
>
1
{\displaystyle e>1}
– hiperbola ),
p
{\displaystyle p}
– parametr krzywej równy połowie długości cięciwy, która przechodzi przez jej ognisko i jest równoległa do jej kierownicy (por. rysunek – nosi on łacińską nazwę semilatus rectum oznaczającego połowę odcinka).
Pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji [ edytuj | edytuj kod ]
Powierzchnia ograniczona krzywą r=r (φ ) i promieniami φ = a oraz φ = b .
Pole powierzchni
S
{\displaystyle S}
ograniczonej wykresem funkcji
r
=
r
(
φ
)
{\displaystyle r=r(\varphi )}
i promieniami
φ
=
a
{\displaystyle \varphi =a}
oraz
φ
=
b
{\displaystyle \varphi =b}
(por. rysunek) oblicza się sumując jej infinitezymalne wycinki kołowe
d
S
:
{\displaystyle dS{:}}
S
=
∫
a
b
d
S
(
φ
)
=
1
2
∫
a
b
r
2
(
φ
)
d
φ
{\displaystyle S=\int _{a}^{b}dS(\varphi )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r^{2}(\varphi )d\varphi }
tj. pole powierzchni jest połową całki z kwadratu funkcji
r
=
r
(
φ
)
,
{\displaystyle r=r(\varphi ),}
ograniczonej kątami
φ
=
a
{\displaystyle \varphi =a}
oraz
φ
=
b
.
{\displaystyle \varphi =b.}
Dowód:
Powierzchnia ograniczona krzywą r=r (φ ) jest przybliżana za pomocą n trójkątów równoramiennych (tu n = 5).
Pole pod krzywą można przybliżyć za pomocą wycinków kołowych o środku w biegunie
O
{\displaystyle O}
(por. rysunek). Niech
d
φ
=
(
b
−
a
)
/
n
{\displaystyle d\varphi =(b-a)/n}
oznacza miarę kąta każdego wycinka wyrażoną w radianach , gdzie
n
{\displaystyle n}
– liczba podziału przedziału kątowego
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
na równe części; niech
φ
i
{\displaystyle \varphi _{i}}
będzie kątem środkowym
i
{\displaystyle i}
-tego wycinka,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
;
{\displaystyle i=1,2,...,n;}
każdy z wycinków ma odpowiednio promień
r
(
φ
i
)
,
{\displaystyle r(\varphi _{i}),}
kąt środkowy
d
φ
{\displaystyle d\varphi }
i długość łuku
r
(
φ
i
)
d
φ
.
{\displaystyle r(\varphi _{i})d\varphi .}
Powierzchnia każdego wycinka jest zatem równa:
d
S
=
[
r
(
φ
i
)
]
2
π
⋅
d
φ
2
π
=
1
2
[
r
(
φ
i
)
]
2
d
φ
{\displaystyle dS=\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\pi \cdot {\frac {d\varphi }{2\pi }}={\frac {1}{2}}\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}d\varphi }
Sumaryczne pole wszystkich wycinków dane jest wzorem:
S
n
=
∑
i
=
1
n
1
2
r
(
φ
i
)
2
Δ
φ
{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi }
Zwiększając liczbę podziałów
n
{\displaystyle n}
pola pod krzywą otrzymujemy coraz mniejsze katy
d
φ
{\displaystyle d\varphi }
i polepsza się przybliżenie. Dla
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
mamy
d
φ
→
0
{\displaystyle d\varphi \to 0}
– powyższa suma przechodzi w całkę Riemanna :
S
=
∫
a
b
d
S
(
φ
)
=
∫
a
b
1
2
r
2
(
φ
)
d
φ
=
1
2
∫
a
b
r
2
(
φ
)
d
φ
,
{\displaystyle S=\int _{a}^{b}dS(\varphi )=\int _{a}^{b}{\frac {1}{2}}r^{2}(\varphi )d\varphi ={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r^{2}(\varphi )d\varphi ,}
cnd.
Długość łuku krzywej we współrzędnych biegunowych [ edytuj | edytuj kod ]
Długość łuku
L
{\displaystyle L}
(tj. długość wycinka) krzywej zdefiniowanej za pomocą funkcji biegunowej
r
=
r
(
φ
)
{\displaystyle r=r(\varphi )}
oblicza się sumując wzdłuż krzywej infinitezymalne jej fragmenty
d
l
:
{\displaystyle dl{:}}
L
=
∫
a
b
d
l
(
φ
)
=
∫
a
b
[
r
(
φ
)
]
2
+
[
d
r
(
φ
)
d
φ
]
2
d
φ
{\displaystyle L=\int _{a}^{b}dl(\varphi )=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[r(\varphi )\right]^{2}+\left[{\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right]^{2}}}d\varphi }
gdzie
φ
=
a
{\displaystyle \varphi =a}
oraz
φ
=
b
{\displaystyle \varphi =b}
oznaczają współrzędne kątowe odpowiednio punktu początkowego i końcowego łuku krzywej;
d
r
(
φ
)
d
φ
≡
r
′
(
φ
)
{\displaystyle {\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\equiv r'(\varphi )}
– pochodna zmiennej
r
(
φ
)
{\displaystyle r(\varphi )}
po
φ
.
{\displaystyle \varphi .}
Dowód:
(1 ) Wyprowadzenie wzoru na długość łuku różniczkowego krzywej
W układzie współrzędnych biegunowych, powierzchnię wykresu funkcji
r
{\displaystyle r}
można podzielić na trójkąty, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami
O
{\displaystyle O}
znajdują się w biegunie, zaś 2 pozostałe:
P
{\displaystyle P}
i
Q
,
{\displaystyle Q,}
są częścią wykresu i znajdują się obok siebie, przy czym długość pierwszego ramienia
|
O
P
|
{\displaystyle |OP|}
wynosi
r
(
φ
)
,
{\displaystyle r(\varphi ),}
drugiego
|
O
Q
|
:
{\displaystyle |OQ|{:}}
r
(
φ
+
d
φ
)
=
r
(
φ
)
+
d
r
(
φ
)
{\displaystyle r(\varphi +d\varphi )=r(\varphi )+dr(\varphi )}
dla argumentu
φ
,
{\displaystyle \varphi ,}
długość podstawy
|
P
Q
|
{\displaystyle |PQ|}
jest różniczką naszego łuku, a więc oznaczona jako
d
L
,
{\displaystyle dL,}
zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami
(
P
O
Q
)
{\displaystyle (POQ)}
wynosi
d
φ
,
{\displaystyle d\varphi ,}
gdzie
d
φ
→
0
{\displaystyle d\varphi \to 0}
jest różniczką tegoż argumentu. Na ramieniu
O
Q
{\displaystyle OQ}
umieszczamy punkt
R
,
{\displaystyle R,}
który dzieli to ramię w ten sposób, że
|
O
R
|
=
|
O
P
|
=
r
(
φ
)
,
{\displaystyle |OR|=|OP|=r(\varphi ),}
zaś
|
R
Q
|
=
d
r
(
φ
)
.
{\displaystyle |RQ|=dr(\varphi ).}
W ten sposób podzieliliśmy trójkąt
O
P
Q
{\displaystyle OPQ}
na 2 mniejsze: równoramienny
O
P
R
{\displaystyle OPR}
(o podstawie
P
R
{\displaystyle PR}
) i
P
Q
R
.
{\displaystyle PQR.}
Kąt
O
R
P
{\displaystyle ORP}
oznaczmy jako
γ
,
{\displaystyle \gamma ,}
zaś kąt
P
R
Q
{\displaystyle PRQ}
– jako
δ
.
{\displaystyle \delta .}
Kąty
d
φ
{\displaystyle d\varphi }
i
γ
{\displaystyle \gamma }
znajdują się w trójkącie równoramiennym, tak więc suma ich wszystkich jest równa
π
:
{\displaystyle \pi {:}}
2
γ
+
d
φ
=
π
,
{\displaystyle 2\gamma +d\varphi =\pi ,}
2
γ
=
π
−
d
φ
,
{\displaystyle 2\gamma =\pi -d\varphi ,}
γ
=
π
−
d
φ
2
.
{\displaystyle \gamma ={\frac {\pi -d\varphi }{2}}.}
Ponieważ
d
φ
→
0
,
{\displaystyle d\varphi \to 0,}
więc:
γ
→
π
2
.
{\displaystyle \gamma \to {\frac {\pi }{2}}.}
Kąty
γ
{\displaystyle \gamma }
i
δ
{\displaystyle \delta }
są względem siebie przyległe , tak więc ich suma jest równa
π
:
{\displaystyle \pi {:}}
γ
+
δ
=
π
,
{\displaystyle \gamma +\delta =\pi ,}
δ
=
π
−
γ
=
π
−
π
−
d
φ
2
=
π
+
d
φ
2
.
{\displaystyle \delta =\pi -\gamma =\pi -{\frac {\pi -d\varphi }{2}}={\frac {\pi +d\varphi }{2}}.}
Ponieważ
d
φ
→
0
,
{\displaystyle d\varphi \to 0,}
więc:
δ
→
π
2
.
{\displaystyle \delta \to {\frac {\pi }{2}}.}
Skoro kąt
δ
{\displaystyle \delta }
znajduje się w trójkącie
P
Q
R
,
{\displaystyle PQR,}
to trójkąt ten staje się prostokątny, a skoro tworzą go boki
P
Q
,
{\displaystyle PQ,}
P
R
{\displaystyle PR}
i
Q
R
,
{\displaystyle QR,}
to muszą one spełniać twierdzenie Pitagorasa:
|
P
Q
|
2
=
|
P
R
|
2
+
|
Q
R
|
2
,
{\displaystyle |PQ|^{2}=|PR|^{2}+|QR|^{2},}
d
L
2
=
|
P
R
|
2
+
d
r
2
(
φ
)
.
{\displaystyle dL^{2}=|PR|^{2}+dr^{2}(\varphi ).}
Długość podstawy
|
P
R
|
{\displaystyle |PR|}
można policzyć w oparciu o twierdzenie cosinusów :
|
P
R
|
2
=
r
2
(
φ
)
+
r
2
(
φ
)
−
2
r
(
φ
)
r
(
φ
)
cos
(
d
φ
)
=
2
r
2
(
φ
)
−
2
r
2
(
φ
)
cos
(
d
φ
)
=
2
r
2
(
φ
)
(
1
−
cos
(
d
φ
)
)
.
{\displaystyle |PR|^{2}=r^{2}(\varphi )+r^{2}(\varphi )-2r(\varphi )r(\varphi )\cos(d\varphi )=2r^{2}(\varphi )-2r^{2}(\varphi )\cos(d\varphi )=2r^{2}(\varphi )(1-\cos(d\varphi )).}
Stąd:
d
L
2
=
2
r
2
(
φ
)
(
1
−
cos
(
d
φ
)
)
+
d
r
2
(
φ
)
=
(
2
r
2
(
φ
)
⋅
1
−
cos
(
d
φ
)
d
φ
2
+
(
d
r
(
φ
)
d
φ
)
2
)
d
φ
2
{\displaystyle dL^{2}=2r^{2}(\varphi )(1-\cos(d\varphi ))+dr^{2}(\varphi )=\left(2r^{2}(\varphi )\cdot {\frac {1-\cos(d\varphi )}{d\varphi ^{2}}}+\left({\frac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right)^{2}\right)d\varphi ^{2}}
Ponieważ
lim
d
φ
→
0
1
−
cos
(
d
φ
)
d
φ
2
=
1
2
,
{\displaystyle \lim _{d\varphi \to 0}{\frac {1-\cos(d\varphi )}{d\varphi ^{2}}}={\frac {1}{2}},}
to:
d
L
2
=
(
(
2
r
(
φ
)
2
⋅
1
2
+
(
d
r
(
φ
)
d
φ
)
2
)
d
φ
2
,
{\displaystyle dL^{2}=\left(({\cancel {2}}r(\varphi )^{2}\cdot {\frac {1}{\cancel {2}}}+\left({\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right)^{2}\right)d\varphi ^{2},}
gdzie
d
r
(
φ
)
d
φ
≡
r
′
(
φ
)
{\displaystyle {\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\equiv r'(\varphi )}
staje się pochodną
r
=
r
(
φ
)
{\displaystyle r=r(\varphi )}
po
φ
{\displaystyle \varphi }
dla
d
φ
→
0.
{\displaystyle d\varphi \to 0.}
Różniczka łuku
d
L
{\displaystyle dL}
wykresu funkcji
r
{\displaystyle r}
w układzie współrzędnych biegunowych wyraża się więc wzorem:
d
L
(
φ
)
=
r
(
φ
)
2
+
r
′
(
φ
)
2
d
φ
{\displaystyle dL(\varphi )={\sqrt {r(\varphi )^{2}+r'(\varphi )^{2}}}d\varphi }
(2) Długość łuku
L
{\displaystyle L}
wykresu funkcji
r
=
r
(
φ
)
{\displaystyle r=r(\varphi )}
wyraża się zatem wzorem:
L
=
∫
a
b
d
L
(
φ
)
=
∫
a
b
r
(
φ
)
2
+
r
′
(
φ
)
2
d
φ
,
{\displaystyle L=\int _{a}^{b}dL(\varphi )=\int _{a}^{b}{\sqrt {r(\varphi )^{2}+r'(\varphi )^{2}}}d\varphi ,}
cnd.
Liczby zespolone – użyteczność postaci biegunowej [ edytuj | edytuj kod ]
Przedstawienie liczby zespolonej na płaszczyźnie zespolonej
Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej
Każda liczba zespolona
z
{\displaystyle z}
może być przedstawiana jako punkt na płaszczyźnie zespolonej , z zastosowaniem różnych układów współrzędnych:
(1 ) w układzie współrzędnych kartezjańskich
z
=
x
+
i
y
,
{\displaystyle z=x+iy,}
gdzie:
i
{\displaystyle i}
– jednostka urojona ,
x
,
y
{\displaystyle x,y}
– współrzędne kartezjańskie punktu
(2 ) w układzie współrzędnych biegunowych (tzw. postać trygonometryczna liczby zespolonej)
z
=
r
⋅
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
,
{\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),}
gdzie:
r
{\displaystyle r}
– współrzędna radialna nazywana tu modułem liczby
z
,
{\displaystyle z,}
φ
{\displaystyle \varphi }
– współrzędna kątowa nazywana jej argumentem . Postać trygonometryczną liczby zespolonej można przekształcić do postaci wykładniczej
z
=
r
e
i
φ
,
{\displaystyle z=re^{i\varphi },}
gdzie
e
{\displaystyle e}
to liczba Eulera .
Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie , dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest znacznie proste, niż w postaci kartezjańskiej (por. działania na liczbach zespolonych ), tj.
a) mnożenie
r
0
e
i
θ
0
⋅
r
1
e
i
θ
1
=
r
0
r
1
e
i
(
θ
0
+
θ
1
)
,
{\displaystyle r_{0}e^{i\theta _{0}}\cdot r_{1}e^{i\theta _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\theta _{0}+\theta _{1})},}
b) dzielenie
r
0
e
i
θ
0
r
1
e
i
θ
1
=
r
0
r
1
e
i
(
θ
0
−
θ
1
)
,
{\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\theta _{0}}}{r_{1}e^{i\theta _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\theta _{0}-\theta _{1})},}
c) potęgowanie
(
r
e
i
θ
)
n
=
r
n
e
i
n
θ
,
{\displaystyle (re^{i\theta })^{n}=r^{n}e^{in\theta },}
d) pierwiastkowanie (pierwiastek główny)
r
e
i
φ
n
=
r
n
e
i
φ
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{\frac {i\varphi }{n}}}
Inne układy współrzędnych:
Szczególne układy współrzędnych:
Inne:
↑ Franciszek Leja : Geometria analityczna . Wydanie 6. PWN, Warszawa 1976, strona 45.
↑ Bonaventura Cavalieri: Geometria indivisilibus continuorum . Bonn 1653. (Pierwsze wydanie ukazało się w 1635).
↑ Newton: The Method of Fluxions . Londyn 1736. (Napisane w 1671).
↑ Julian Coolidge: The Origin of Polar Coordinates . „The American Mathematical Monthly” 59 (1952), s. 78–85.
↑ Składowe wektora i współrzędne punktu . W: Marceli Stark : Geometria analityczna . Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1951, s. 66, seria: Monografie matematyczne, t. 26. OCLC 887752 .
↑ a b I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny . Wyd. 13. Warszawa: PWN, 1996, s. 258. ISBN 83-01-11658-7 .
↑ a b Składowe wektora i współrzędne punktu . W: Marceli Stark: Geometria analityczna . Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1951, s. 67, seria: Monografie matematyczne, t. 26. OCLC 887752 .
↑ Granino A. Korn, Theresa M. Korn: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers . Wyd. 2. Mineola, New York: Dover Publications, 2000, s. 35. ISBN 0-486-41147-8 .