Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Średnia geometryczno-harmoniczna dwóch liczb rzeczywistych dodatnich
g
{\displaystyle g}
h
{\displaystyle h}
granica ciągów
(
g
n
)
,
(
h
n
)
{\displaystyle (g_{n}),(h_{n})}
rekurencyjnie :
g
0
=
g
,
h
0
=
h
{\displaystyle g_{0}=g,\quad h_{0}=h}
g
n
+
1
=
g
n
h
n
,
h
n
+
1
=
2
1
g
n
+
1
h
n
{\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}h_{n}}},\quad h_{n+1}={\frac {2}{{\tfrac {1}{g_{n}}}+{\tfrac {1}{h_{n}}}}}}
Granica ta istnieje dla dowolnych
g
,
{\displaystyle g,}
h
{\displaystyle h}
średniej arytmetyczno-geometrycznej .
Aby wyznaczyć średnią geometryczno-harmoniczną liczb
g
0
=
24
{\displaystyle g_{0}=24}
h
0
=
6
,
{\displaystyle h_{0}=6,}
g
1
=
24
⋅
6
=
12
h
1
=
2
1
24
+
1
6
=
9
,
6
{\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&={\sqrt {24\cdot 6}}=12\\h_{1}&={\frac {2}{{\tfrac {1}{24}}+{\tfrac {1}{6}}}}=9{,}6\end{aligned}}}
i dalej rekurencyjnie:
n
{\displaystyle n}
g
n
{\displaystyle g_{n}}
h
n
{\displaystyle h_{n}}
0
24
6
1
12
9,6
2
10,733126291999…
10,666666666666…
3
10,699844879622…
10,699793280161…
4
10,699819079861…
10,699819079829…
5
10,699819079845…
10,699819079845…
Przy oznaczeniach:
A
G
M
(
a
,
b
)
{\displaystyle AGM(a,b)}
średnia arytmetyczno-geometryczna liczb
a
{\displaystyle a}
b
,
{\displaystyle b,}
G
H
M
(
a
,
b
)
{\displaystyle GHM(a,b)}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
zachodzą następujące zależności:
G
H
M
(
x
,
y
)
=
1
A
G
M
(
1
x
,
1
y
)
,
{\displaystyle GHM(x,y)={\frac {1}{AGM({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}})}},}
G
H
M
(
λ
a
,
λ
b
)
=
λ
G
H
M
(
a
,
b
)
,
dla
λ
>
0
,
{\displaystyle GHM(\lambda a,\lambda b)=\lambda GHM(a,b),\quad {}{\text{dla}}\;\lambda >0,}
min
(
x
,
y
)
⩽
2
1
x
+
1
y
⩽
G
H
M
(
x
,
y
)
⩽
x
y
⩽
A
G
M
(
x
,
y
)
⩽
x
+
y
2
⩽
max
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle \min(x,y)\leqslant {\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}\leqslant GHM(x,y)\leqslant {\sqrt {xy}}\leqslant AGM(x,y)\leqslant {\frac {x+y}{2}}\leqslant \max(x,y).}
