Całka wielokrotna stopnia
– całka po
zmiennych z funkcji
zmiennych:
![{\displaystyle \iiint \limits _{\Omega }\ldots \int f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots x_{n})\;dx_{1}\;dx_{2}\;dx_{3}\ldots \;dx_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa506d96b915691828e6c806e4735b60a6ae1f7)
Szczególne przypadki całki wielokrotnej, to:
![{\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4199a685f38294a6c9aebf2cdbed2b167b2ab14c)
![{\displaystyle \iiint \limits _{V}f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3602ce61f413455cd85d649fc8ec3ad45ec4f5)
Całka ta ma interpretację masy zawartej w bryle o gęstości
Jeżeli
jest odpowiednim obszarem normalnym
to
Jeżeli
to
Analogicznie zamieniamy na całkę iterowaną inne całki po obszarze normalnym. Taka zamiana jest szczególnie prosta w przypadku całkowania po prostopadłościanie. Jeżeli obszar
nie jest obszarem normalnym, dzielimy go na obszary normalne.
Niech obszar regularny domknięty
jest obrazem obszaru regularnego domkniętego
w przekształceniu
![{\displaystyle \Phi =\{x=x(u,v,w),\ y=y(u,v,w),\ z=z(u,v,w)\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663bf71f464c668f86b7e51718c1dafeb7ffbb3a)
- które jest klasy C1 w pewnym obszarze zawierającym obszar
oraz
- którego jakobian
jest różny od zera wewnątrz ![{\displaystyle \Omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5dc55a0f828ae7d92ad5426ce7348d84ee62a70)
Ponadto niech
jest dowolną funkcją ciągłą w
Wtedy
![{\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz=\iiint \limits _{\Omega }f(x(u,v,w),\ y(u,v,w),\ z(u,v,w))|J|\;du\;dv\;dw.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee25dda8bb39e90c7d65bc6bcf46c203ce16091)
Uwaga.
oznacza wartość bezwzględną jakobianu, zaś
oznacza pochodną cząstkową i analogiczne znaczenia mają wszystkie inne litery ze wskaźnikami dolnymi.
Multiple integral (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].