Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Funkcja tworząca momenty silni – dla danego rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej
o wartościach rzeczywistych funkcja zdefiniowana wzorem
![{\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} {\bigl [}t^{X}{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b0f116569d2acad64dba16934ba02705748486)
dla wszystkich liczb zespolonych
dla których ta wartość oczekiwana istnieje. Tak jest w przypadku co najmniej dla wszystkich
na okręgu jednostkowym
patrz funkcja charakterystyczna. Jeśli
jest dyskretną zmienną losową przyjmującą wartości jedynie ze zbioru {0,1, ...} nieujemnych liczb całkowitych, wtedy
nazywana jest również funkcją tworzącą prawdopodobieństwa
i
jest dobrze zdefiniowaną co najmniej dla wszystkich
w zamkniętym jednostkowym dysku
Funkcja tworząca momenty silni tworzy momenty silni rozkładu prawdopodobieństwa. Pod warunkiem że
istnieje w sąsiedztwie
-ty moment silni jest dany przez[1]
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{\underline {n}}]={M_{X}}^{\underline {n}}(1)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=1}M_{X}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc677441aff61aab93230b6fde4c16ebc0f3164)
gdzie
oznacza silnię dolną.
Niech
ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną λ. Wykorzystując definicję i własności funkcji wykładniczej otrzymuje się funkcję tworzącą momenty silni tej zmiennej,
![{\displaystyle M_{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }t^{k}\underbrace {\operatorname {P} (X=k)} _{=\,\lambda ^{k}e^{-\lambda }/k!}=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(t\lambda )^{k}}{k!}}=e^{\lambda (t-1)},\qquad t\in \mathbb {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04e8959c48bb667bcd9e3665b619fe8a7e20c0b)
skąd
![{\displaystyle \operatorname {E} [X^{\underline {n}}]=\lambda ^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648e0498afb030fdb5af36fc8a19492e915bd08f)