Po raz pierwszy na arenie międzynarodowej Martin Bajčičák pojawił się w 1994 roku podczas mistrzostw świata juniorów w Breitenwang, zajmując 51. miejsce w biegu na 10 km techniką klasyczną. Na rozgrywanych rok później mistrzostwach świata juniorów w Gällivare na tym samym dystansie był trzynasty. Wystąpił także na mistrzostwach świata juniorów w Asiago w 1996 roku, zdobywając brązowy medal w biegu na 30 km stylem dowolnym i srebrny na 10 km klasykiem. W międzyczasie zadebiutował w Pucharze Świata, zajmując 58. miejsce w biegu na 15 km techniką dowolną 13 grudnia 1995 roku w Brusson. Pierwsze pucharowe punkty zdobył nieco ponad rok później, 11 stycznia 1997 roku w Hakubie plasując się na 30. miejscu w biegu na 10 km stylem klasycznym. Dwukrotnie stawał na podium zawodów PŚ, odnosząc przy tym jedno zwycięstwo: 12 lutego 2005 roku w Reit im Winkl był najlepszy w biegu na 15 km stylem dowolnym. W klasyfikacji generalnej najlepiej wypadł w sezonie 2004/2005, który ukończył na szesnastym miejscu. Pierwszą dużą imprezą w jego karierze były mistrzostwach świata w Trondheim w 1997 roku, gdzie był między innymi 50. w biegu łączonym 25 km i dziewiąty w sztafecie. Najlepsze wyniki osiągnął podczas mistrzostw świata w Oberstdorfie w 2005 roku, gdzie był czwarty w biegu łączonym na 30 km, przegrywając walkę o brąz z NorwegiemFrode Estilem. Był także szósty na dystansie 50 km klasykiem na rozgrywanych dwa lata później mistrzostwach świata w Sapporo. W 1998 roku wziął udział w igrzyskach olimpijskich w Nagano, gdzie zajął między innymi 28. miejsce w biegu na 30 km techniką klasyczną i jedenaste w sztafecie. Startował również na trzech kolejnych igrzyskach, najlepszy wynik osiągając na igrzyskach olimpijskich w Turynie w 2006 roku, gdzie był ósmy w biegu łączonym na 30 km oraz w sprincie drużynowym (razem z Ivanem Bátorym). Startuje także w zawodach FIS Marathon Cup, w których raz stanął na podium - 20 stycznia 2013 roku był drugi w austriackim maratonie Dolomitenlauf. W zawodach tych wyprzedził go jedynie WłochSergio Bonaldi. Sezon 2012/2013 FIS Marathon Cup ukończył na jedenastej pozycji.
W kwietniu 2020 roku został powołany na funkcję trenera kobiecej Reprezentacji Polski w biegach narciarskich[1]. Zastąpił na tym stanowisku Aleksandra Wierietielnego.
- – zawodnik nie wystartował TdS – Tour de Ski
DNS – Zawodnik został zgłoszony do biegu, ale w nim nie wystartował
DNF – Zawodnik nie ukończył biegu
LPD – Zawodnik został zdublowany