Pochodna funkcji w punkcie albo różniczka funkcji w punkcie to przekształcenie liniowe będące najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu funkcji w punkcie
W matematyce i naukach ją wykorzystujących szczególnie ważne są funkcje postaci ponieważ można zdefiniować ich ekstremum. Pochodne takich funkcji służą do szukania ich ekstremum.
Różniczkę funkcji różniczkowalnej w punkcie da się zawsze przedstawić w następującej postaci kanonicznej
gdzie to pochodne rzutowań na -tą współrzędną względem bazy standardowej tzn. funkcji danych wzorami
Niech będzie zbiorem otwartym. Powiemy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie jeżeli istnieje przekształcenie liniowe takie, że
Przekształcenie liniowe nazywamy pochodną funkcji w punkcie albo różniczką funkcji w punkcie i oznaczamy lub podobnie.
Równoważnie funkcja jest różniczkowalna w punkcie jeżeli jej przyrost w tym punkcie można przedstawić w postaci:
gdzie reszta ma własność
Stąd wynika, że różniczka to najlepsze możliwe liniowe przybliżenie przyrostu funkcji.
Niech będzie zbiorem otwartym. Powiemy, że funkcja jest różniczkowalna, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie Funkcja różniczkowalna indukuje odwzorowanie z w przestrzeń przekształceń liniowych z w dane wzorem
które nazywamy pochodną funkcji albo różniczką funkcji
- Różniczka jest operatorem liniowym:
- Zachodzi reguła łańcuchowa:
- o ile złożenia mają sens.
- Jeżeli jest różniczkowalne w punkcie to
- gdzie po prawej stronie stoi pochodna kierunkowa.
Różniczka jest (z definicji) przekształceniem liniowym, a zatem jest sens rozważać jej macierz. Jeżeli gdzie to złożenia rzutowań z funkcją to macierz różniczki jest postaci
Jeżeli jest różniczkowalna w punkcie to macierz jej różniczki w bazie standardowej jest postaci
Jeżeli jest różniczkowalne w punkcie to macierz jej różniczki w bazach standardowych i jest postaci
Reguła łańcuchowa przenosi się na macierz różniczki:
(1) Rozważmy funkcję daną wzorem
Jej różniczka ma w bazach standardowych macierz
i jest dana wzorem
(2) Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie to jej różniczka w tym punkcie jest dana wzorem
(3) Przykładowo różniczka funkcji danej wzorem
jest dana wzorem
i w punkcie na wektorze wynosi
(4) Niech oznaczają rzutowania na -tą współrzędną względem bazy standardowej tzn.
Rzutowania są funkcjami różniczkowalnymi i ich różniczki są dane wzorem
dla każdego
(5) Łącząc ostatni i przedostatni punkt widzimy, że różniczkę funkcji (jeżeli istnieje) możemy zapisać w postaci
(dla prostoty oznaczeń piszemy zamiast ).
(6) Oznaczając pochodną funkcji w punkcie przez a pochodne przez możemy nadać wzorowi z poprzedniego punktu klasyczną formę
(7) W przypadku funkcji wzór z poprzedniego punktu sprowadza się do wzoru
W przypadku funkcji pojęcia pochodnej (w elementarnym sensie) i różniczki różnią się. Jest to jednak różnica tylko pozorna, gdyż każdej pochodnej odpowiada różniczka a każdej różniczce odpowiada pochodna
Pochodna funkcji ma wiele daleko idących uogólnień. Są to m.in. pochodna Frecheta i pochodna Gateaux. W przypadku gdy m=1 (tzn. w przypadku funkcji ) pochodna ma bardzo głębokie uogólnienie w postaci -formy różniczkowej.
- Michael Spivak: Analiza matematyczna na rozmaitościach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006.brak strony w książce