Pochodna logarytmiczna funkcji
– pochodna logarytmu naturalnego funkcji
[1],
![{\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a170e9b835b94049e1672a48e0ad57cbca5170ac)
Powyższy wzór można wyprowadzić używając wzoru na pochodną złożenia.
Jest ona często używana w analizie matematycznej, szczególnie w analizie zespolonej.
- Pochodna logarytmiczna iloczynu funkcji jest sumą pochodnych logarytmicznych funkcji. Wynika to wprost ze wzoru na logarytm iloczynu[a].
![{\displaystyle (\ln fg)'=(\ln f+\ln g)'=(\ln f)'+(\ln g)'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c98106dc84227534073ae01e439de6fc2a37a95)
- Pochodna logarytmiczna ilorazu funkcji jest różnicą pochodnych logarytmicznych funkcji. Wynika to wprost ze wzoru na logarytm ilorazu.
![{\displaystyle \left(\ln {\frac {f}{g}}\right)'=(\ln f-\ln g)'=(\ln f)'-(\ln g)'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa13431930d0c8c0747eb3fdf4f3e885ebb2248)
- Pochodna logarytmiczna odwrotności funkcji jest wartością przeciwną do pochodnej logarytmicznej funkcji.
![{\displaystyle (\ln 1/f)'=(-\ln f)'=-(\ln f)'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e4bf32d868a8f36870d64a912f19018caffc51)
- Pochodna logarytmiczna
-tej potęgi funkcji jest pochodną logarytmiczną tejże funkcji przemnożoną przez
![{\displaystyle (\ln f^{n})'=(n\ln f)'=n(\ln f)'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ccab030295804d50f9de4935c5fd38c58915a7b)
Pochodna funkcji wykładniczej[edytuj | edytuj kod]
Przekształcając wzór na pochodną logarytmiczną otrzymujemy wzór na
[a]:
![{\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8b819de8f00a73eff4a92fffb888e9de301ce5)
![{\displaystyle f'=f\cdot (\ln f)'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70bf3c20d4653de1234fd57d15be5abdc0237020)
Gdy
jest postaci
![{\displaystyle f=g^{h},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62ac1cebfc90f79267be27403a714d2beda77a0)
otrzymujemy wzór
![{\displaystyle f'=f\cdot (h\cdot \ln g)'=f\cdot \left(h'\cdot \ln g+h{\frac {g'}{g}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb819fc788e2a1188037bfed6b36f8fb87e7d92)
- Pochodna wyrażenia
jest równa
![{\displaystyle (2^{x})'=2^{x}(x\cdot \ln 2)'=2^{x}\ln 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b702145f6a1e078d03d9e136020a50987ce59323)
- Pochodna wyrażenia
jest równa
![{\displaystyle (x^{2x})'=x^{2x}(2x\cdot \ln x)'=2x^{2x}(\ln x+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f301da6dcf9adfbec2ead5f2747bf7aafcc66948)
Pochodna iloczynu wielu funkcji[edytuj | edytuj kod]
Gdy funkcja
jest postaci[a]
![{\displaystyle f=f_{1}\cdot f_{2}\cdot \ldots \cdot f_{n}=\prod \limits _{k=1}^{n}f_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984e6ad1ae982e361b35c7419550a1a9bf6ed997)
używając wzoru na pochodną logarytmiczną iloczynu otrzymujemy:
![{\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {f_{1}'}{f_{1}}}+{\frac {f_{2}'}{f_{2}}}+\ldots +{\frac {f_{n}'}{f_{n}}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {f_{k}'}{f_{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fa5a4c5421c90777b509b00c589a2db44db7f06)
czyli wzór na pochodną
jest następujący:
![{\displaystyle f'=f\cdot \left({\frac {f_{1}'}{f_{1}}}+{\frac {f_{2}'}{f_{2}}}+\ldots +{\frac {f_{n}'}{f_{n}}}\right)=f\cdot \left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {f_{k}'}{f_{k}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a259644c3d81b5a095016dec4d8bfd311b2d4c2)
W szczególnym przypadku (gdy
) mamy:
![{\displaystyle f'=f\cdot \left({\frac {g'}{g}}+{\frac {h'}{h}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b53e78451cc642a0fee648605822a731599e44)
- Pochodna wyrażenia
jest równa
![{\displaystyle (x\cos(x))'=x\cos(x)\cdot \left({\frac {1}{x}}-{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe401ad7280036b948efb3d78bd4c41302d0e38)
- Pochodna wyrażenia
jest równa
![{\displaystyle (2x\sin(x)\ln(x))'=2x\sin(x)\ln(x)\cdot \left({\frac {2}{2x}}+{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}+{\frac {1}{x\ln(x)}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64001fdd44767b6ea532d1582c55f4268eee9c65)
Pochodne logarytmiczne podstawowych funkcji[edytuj | edytuj kod]
Oznaczając pochodną logarytmiczną
poprzez
otrzymujemy:
![{\displaystyle D_{\log }\;x={\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071b558fcfbefc15566489f0b0a72f4654c5e218)
![{\displaystyle D_{\log }\;x^{2}={\frac {2}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc21c06ce25f313e997c2ebe8f0f70e12c208e30)
![{\displaystyle D_{\log }\;{\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e09333823e6995c332ae91f6c16a1b5667cc986c)
![{\displaystyle D_{\log }\;x^{n}={\frac {n}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0293bc09b7f1b61987b23cb1f1b22be3fae94e27)
![{\displaystyle D_{\log }\;ke^{x}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3851c62ca23bab1ca95b8aac9544f7d24f99aec8)
![{\displaystyle D_{\log }\;ke^{nx}=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07325f964a9cc8d6e296cfacf402a4cc139a3d96)
![{\displaystyle D_{\log }\;\ln(x)={\frac {1}{x\ln(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dceef6be8198c55183405c27fbc7e30e42e2503a)
Residua pochodnej logarytmicznej[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli
jest funkcją holomorficzną (analityczną) wewnątrz obszaru ograniczonego
i na jego brzegu
zorientowanym dodatnio względem
która nie przyjmuje wartości 0 na
to[2]:
![{\displaystyle Z={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86bf6a8f1d1b7ca5134f85b43c7ded06cbbae36)
gdzie
oznacza liczbę zer funkcji
wewnątrz
(gdzie zero
-krotne liczy się jako
).
Jeśli w obszarze
funkcja
jest meromorficzna, natomiast na
funkcja ta nie ma ani zer, ani biegunów to
![{\displaystyle Z-B={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4406fb2193573ffc1f27f7003cedb7bb40056a27)
gdzie dodatkowo
oznacza liczbę biegunów funkcji
wewnątrz
(gdzie biegun
-krotny liczy się jako
).
- ↑ a b c Tutaj
itp. oznaczają odpowiednio