Wielomian minimalny macierzy kwadratowej
– wielomian anulujący
tej macierzy, tzn.
stopnia najniższego względem
o współczynniku jeden przy najwyższej potędze
Równoważnie, dla przekształcenia liniowego
zadanego daną macierzą, jest to taki wielomian
że
(interpretując
jako przekształcenie
złożone ze sobą
razy) przekształca każdy wektor na wektor zerowy, a wielomian
jest najniższego możliwego stopnia i ma współczynnik 1 przy najwyższej potędze
Należy wiedzieć, że istnieje tylko jeden wielomian minimalny macierzy kwadratowej
Wielomian minimalny
macierzy
jest związany z wielomianem charakterystycznym
następującą zależnością:
![{\displaystyle \psi (\lambda )={\frac {\varphi (\lambda )}{D_{n-1}(\lambda )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1a50bc44fcb717b6d7d3128e534d3defeaa82a)
przy czym
jest największym wspólnym dzielnikiem wszystkich elementów macierzy dołączonej
gdzie
jest macierzą jednostkową o tym samym wymiarze co macierz ![{\displaystyle A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a71bf21ad35b8fe05555041d54d1e17eeb0f490)
Powyższa zależność jest przydatna przy wyznaczaniu wielomianu minimalnego.
Algorytm wyznaczania wielomianu minimalnego
macierzy
- Wyznaczamy wielomian charakterystyczny
macierzy ![{\displaystyle A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a71bf21ad35b8fe05555041d54d1e17eeb0f490)
- Wyznaczamy macierz dołączoną
macierzy ![{\displaystyle A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a71bf21ad35b8fe05555041d54d1e17eeb0f490)
- Znajdujemy
będący największym wspólnym dzielnikiem elementów macierzy dołączonej ![{\displaystyle [\lambda E-A]^{D}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a80965d7053e1ff24f03d506e8d380ef8918d1a0)
- Korzystając z wzoru
wyznaczamy szukany wielomian minimalny macierzy ![{\displaystyle A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a71bf21ad35b8fe05555041d54d1e17eeb0f490)
Wyznaczmy wielomian minimalny macierzy:
![{\displaystyle A=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{matrix}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98d3c3006b34df105d9461f5391e416c40b15335)
Wyznaczamy najpierw wielomian charakterystyczny macierzy
![{\displaystyle \varphi (\lambda )=\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0&0\\0&\lambda -1&-1\\0&0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=(\lambda -1)^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59a43bf4f2f04d7b73b55c7533c8da98aa423e5)
Następnie obliczamy macierz dołączoną
macierzy
więc wyznaczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy
![{\displaystyle D_{11}=\left|{\begin{matrix}\lambda -1&-1\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=(\lambda -1)^{2},\quad D_{12}=-\left|{\begin{matrix}0&-1\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=0,\quad D_{13}=\left|{\begin{matrix}0&\lambda -1\\0&0\end{matrix}}\right|=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f63a1de9b70996b84ef7b1a73539fe0c77c908)
![{\displaystyle D_{21}=-\left|{\begin{matrix}0&0\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=0,\quad D_{22}=\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=(\lambda -1)^{2},\quad D_{23}=-\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0\\0&0\end{matrix}}\right|=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494c5f3ca2292579d05f981cf556c816d67a1431)
![{\displaystyle D_{31}=\left|{\begin{matrix}0&0\\\lambda -1&-1\end{matrix}}\right|=0,\quad D_{32}=-\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0\\0&-1\end{matrix}}\right|=\lambda -1,\quad D_{33}=\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=(\lambda -1)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae6a1f81967a893df3d002f4cca2c9ee2e74191)
Aby więc otrzymać macierz dołączoną, należy zastąpić elementy danej macierzy przez ich dopełnienia algebraiczne i dokonać transpozycji. Ostatecznie macierz dołączona
podanej macierzy
ma postać:
![{\displaystyle [\lambda E-A]^{D}=\left({\begin{matrix}(\lambda -1)^{2}&0&0\\0&(\lambda -1)^{2}&0\\0&\lambda -1&(\lambda -1)^{2}\end{matrix}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9056a6af37b5d2a608d4a49a378c307c7ff2a26d)
Wszystkie elementy macierzy dołączonej są podzielne przez
zatem ze wzoru:
![{\displaystyle \psi (\lambda )={\frac {\varphi (\lambda )}{D_{n-1}(\lambda )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d00223c29868e81157e36e04e5161655b7dbc9)
otrzymujemy, że szukany wielomian minimalny zadanej macierzy
ma postać:
Niektóre typy macierzy | Cechy niezależne od bazy |
|
---|
Cechy zależne od bazy |
|
---|
|
---|
Operacje na macierzach | jednoargumentowe |
|
---|
dwuargumentowe |
|
---|
|
---|
Niezmienniki | |
---|
Inne pojęcia |
|
---|