Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wykres złotej funkcji
Złota funkcja – funkcja zmiennej rzeczywistej, której wykresem w kartezjańskim układzie współrzędnych XY jest górna gałąź hiperboli:
![{\displaystyle {\frac {y^{2}-1}{y}}=x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94481f7fdc18605937d5feede88681d48f4c7e7e)
W formie jawnej:
![{\displaystyle y=\operatorname {gold} \ x={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e46e16c38f650a04f0e3c5c4245163b05e5b041)
Mając zdefiniowaną funkcję
dolną gałąź hiperboli można opisać jako wykres
Funkcja jest ciągła, dodatnia. Dla przeciwnych argumentów przyjmuje odwrotne wartości:
czyli ![{\displaystyle \operatorname {gold} \,x\cdot \operatorname {gold} (-x)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918fe58f82ed4d52027727541bd2bb5267ace5fe)
Dla argumentów dążących do minus nieskończoności funkcja maleje do zera, zaś dla rosnących do nieskończoności rośnie nieograniczenie:
![{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {gold} \,x=0,\quad \lim _{x\to \infty }\operatorname {gold} \,x=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eedff8e54c5a068dd579692dbbe881bacde76e1)
i asymptotami wykresu są
dla ![{\displaystyle x\to -\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dc9c89e7d17b244a678b5f1c6b2625d35ffc661)
dla ![{\displaystyle x\to +\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ba9740994f16797a2f5c5be43d2959ed90297d)
Wartością gold(0) jest 1, gold(1) jest złota liczba
a gold(2) – srebrna liczba
Złota funkcja jest powiązana z sinusem hiperbolicznym przez równość:
![{\displaystyle \operatorname {arsinh} \ x=\ln \left(\operatorname {gold} \ 2x\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757c05e9a0131d2760fc151092b835ab84ddbffe)