Forma -liniowa, funkcjonał -liniowy, albo -tensor na przestrzeni liniowej nad ciałem to funkcja postaci
liniowa względem wszystkich swoich argumentów. Formy -liniowe stanowią uogólnienie form liniowych i dwuliniowych oraz jeden ze sposobów sformalizowania pojęcia tensora. Odgrywają bardzo ważną rolę w geometrii różniczkowej gdzie z reguły za ich pomocą definiuje się formy różniczkowe i (pośrednio) całkę z formy różniczkowej po rozmaitości.
Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem Funkcję która jest liniowa względem każdego ze swoich argumentów, tzn.
oraz
dla dowolnych i nazywamy formą -liniową, funkcjonałem -liniowym lub krótko: -formą lub -tensorem na [1].
Zbiór -tensorów na oznaczamy
Struktura przestrzeni liniowej[edytuj | edytuj kod]
W na przestrzeni liniowej nad ciałem wprowadzamy strukturę przestrzeni liniowej definiując działania punktowo:
dla i
Iloczyn tensorowy form wieloliniowych[edytuj | edytuj kod]
Bardzo ważnym działaniem na formach wieloliniowych jest iloczyn tensorowy form wieloliniowych dany wzorem
dla Działanie to będziemy w dalszym ciągu nazywać krótko iloczynem tensorowym.
Iloczyn tensorowy jest łączny:
i rozdzielny względem dodawania:
nie jest jednak przemienny:
Istotnie, załóżmy, że przestrzeń liniowa ma wymiar i rozpatrzmy rzutowania na -tą współrzędną względem bazy tzn. funkcje dane wzorem
Rzutowania są -formami, ma więc dla nich sens iloczyn tensorowy. Mamy
Załóżmy, że przestrzeń liniowa nad jest -wymiarowa i rozpatrzmy rzutowania na -tą współrzędną względem bazy przestrzeni tzn. funkcje postaci
Rzutowania te są -formami, ma zatem sens ich iloczyn tensorowy. Utwórzmy iloczyny
dla pewnych indeksów Iloczyny te stanowią bazę przestrzeń W szczególności wynika z tego, że każdą -formę na można jednoznacznie przedstawić w postaci
dla pewnych skalarów
Rozpatrzmy przestrzeń Każde przekształcenie liniowe indukuje odwzorowanie dane wzorem
dla które nazywamy cofnięciem formy. jest już -tensorem na
W matematyce i fizyce szczególne znaczenie mają formy antysymetryczne, gdyż pola tensorów antysymetrycznych to jedyne pola tensorowe, które można całkować.
Niech Niech oznacza rodzinę permutacji zbioru Powiemy, że jest formą antysymetryczną, jeżeli dla dowolnej permutacji zachodzi
(1) Innymi słowy jest formą antysymetryczną, jeżeli zamieniając miejscami dwa dowolne argumenty zmienia się znak formy na przeciwny.
(2) Ponieważ jedyną permutacją zbioru jest identyczność i jej znak wynosi 1, to każda -forma jest antysymetryczna.
(3) Zbiór -form antysymetrycznych na przestrzeni liniowej oznaczamy
(4) tworzy przestrzeń liniową wraz z działaniami zdefiniowanymi punktowo.
(5) Z powodu warunku antysymetryczności na -wymiarowej przestrzeni liniowej jest przestrzenią liniową -wymiarową. Wynika to z postaci bazy przestrzeni W szczególności dla formy antysymetryczne są tożsamościowo równe 0.
Dowolną formę można „przerobić” na formę antysymetryczną za pomocą odwzorowania nazywanego antysymetryzacją albo alternacją danego wzorem
Jeżeli jest formą antysymetryczną to
czyli odwzorowanie alternacji nie zmienia form antysymetrycznych.
Iloczyn zewnętrzny form wieloliniowych[edytuj | edytuj kod]
Ponieważ wynikiem iloczynu tensorowego form antysymetrycznych może nie być forma antysymetryczna, to wprowadza się „poprawiony” iloczyn tensorowy tak aby wynik mnożenia był formą antysymetryczną. Definiujemy go wzorem
Nazywamy go iloczynem zewnętrznym, albo alternującym. Iloczyn zewnętrzny jest łączny:
rozdzielny względem dodawania:
Ponadto zachodzi:
dla
Niech będzie -wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem Utwórzmy iloczyny
dla Iloczyny te stanowią bazę przestrzeni W szczególności wynika z tego, że każdą formę można jednoznacznie przedstawić w postaci
dla pewnych skalarów
(1) Zdefiniujmy wzorem
jest -tensorem. Możemy go zapisać w postaci
gdzie to rzutowania zdefiniowane
Widzimy, że możemy zapisać
(2) Iloczyn skalarny to funkcja taka, że
Wynika z tego, że iloczyn skalarny jest -tensorem na
(3) Definicja aksjomatyczna wyznacznika mówi, że wyznacznik to funkcja taka, że
Gdzie oznaczają tutaj kolumny macierzy Oznacza to, że wyznacznik jest -tensorem na Co więcej, jest to tensor antysymetryczny.
(4) Niech będzie przestrzenią liniową z pewną bazą Obliczmy Z definicji iloczynu zewnętrznego mamy
Widzimy, że
W szczególności wynikają z tego przydatne związki
- ↑ L.L. Górniewicz L.L., R.S.R.S. Ingarden R.S.R.S., Analiza matematyczna dla fizyków, Wydawnictwo Naukowe UMK .brak strony (książka)
- L Górniewicz, R.S. Ingarden: Analiza matematyczna dla fizyków. Wydawnictwo Naukowe UMK.brak strony w książce
- M. Spivak: Analiza matematyczna na rozmaitościach.brak strony w książce