Płaszczyzna Z

Płaszczyzna Z, płaszczyzna z – płaszczyzna zmiennych zespolonych uzyskanych na drodze przekształcenia do dziedziny $z$ za pomocą transformaty Z – w teorii sterowania jedno z fundamentalnych narzędzi analizy i syntezy układów dyskretnych. Jej odpowiednikiem dla układów czasu ciągłego jest płaszczyzna S.

Własności

Zmienna $z$ jest zmienną zespoloną z częścią rzeczywistą i częścią urojoną. Innymi słowy $z$ można zdefiniować w następujący sposób:

$z=\operatorname {Re} (z)+j\operatorname {Im} (z).$

Jako że zmienna $z$ może być rozbita na dwa niezależne komponenty, to często sensowne jest przedstawienie tej zmiennej na płaszczyźnie Z, gdzie oś pozioma reprezentuje rzeczywistą część $z,$ a pionowa oś – amplitudę urojonej części $z.$

Warto przy tym zauważyć, że jeśli zdefiniujemy $z,$ korzystając z wyrażeń transformaty z gwiazdką:

$z=e^{sT},$

to można dokonać rozdzielenia $s$ na część rzeczywistą i urojoną:

$s=\sigma +j\omega .$

Po włączeniu powyższego do równania na $z$ uzyskuje się:

$z=e^{(\sigma +j\omega )T}=e^{\sigma T}e^{j\omega T}.$

Korzystając z wzoru Eulera, można rozdzielić eksponentę zespoloną jako:

$z=e^{\sigma T}(\cos(\omega T)+j\sin(\omega T)).$

Jeśli ponadto zdefiniuje się nowe zmienne $M$ i $\phi ,$ takie że:

$M=e^{\sigma T},$

$\phi =\omega T,$

można zapisać $z$ korzystając z wyrażeń $M$ i $\phi ,$ jako równanie Eulera:

$z=M\cos(\phi )+jM\sin(\phi ).$

Co stanowi reprezentację biegunową (polarną) zmiennej $z,$ z amplitudą funkcji biegunowej $(M)$ opartą na części rzeczywistej zmiennej $s,$ a kąt funkcji biegunowej $(\phi )$ oparty jest na urojonej części $s.$

Notacja

Uwaga: Ściśle rzecz biorąc nazwy zmiennych zapisuje się małą literą (np. zmienna $s$) a płaszczyzn i transformat dużą: płaszczyzna Z, transformata Z. W praktyce jednak nie zawsze jest to przestrzegane i spotyka się zapisy w każdym przypadku, także z małą literą np. płaszczyzna z.

Zobacz też

• płaszczyzna S
• płaszczyzna w