Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Twierdzenia o oddzielaniu – twierdzenia w analizie funkcjonalnej mówiące o oddzielaniu podzbiorów przestrzeni liniowo-topologicznych poprzez ciągłe funkcjonały liniowe.
Niech
będzie rzeczywistą bądź zespoloną przestrzenią liniowo-topologiczną oraz niech
będą wypukłe, niepuste i rozłączne.
- Jeżeli
jest zbiorem otwartym, to istnieją
oraz liczba rzeczywista
takie, że
dla wszystkich
oraz ![{\displaystyle y\in B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a71f8a25fd762b8393de6f172a3018f3dfc370e)
- Jeżeli
jest przestrzenią lokalnie wypukłą,
jest zbiorem zwartym oraz
jest zbiorem domkniętym, to istnieją
oraz liczby rzeczywiste
takie, że
dla wszystkich
oraz ![{\displaystyle y\in B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a71f8a25fd762b8393de6f172a3018f3dfc370e)
Prostym wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeżeli
jest lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną, to dla każdego
istnieje
taki, że
Inne twierdzenia o oddzielaniu[edytuj | edytuj kod]
Niech
będzie przestrzenią lokalnie wypukłą, a
jej podprzestrzenią.
- Dla każdego
istnieje
taki, że
oraz ![{\displaystyle Y\subseteq (x^{\star })^{-1}(\{0\}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d186b21e9fd5c1530ab372c966a088b9f5e9e14b)
![{\displaystyle \bigwedge _{x\in X}\left(\bigwedge _{x^{\star }\in X^{\star }}(x^{\star }|_{Y}=0\Rightarrow x^{\star }x=0)\Rightarrow x\in \operatorname {cl} Y\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac1f4400813efb72515cf04abb0655899456f59)
![{\displaystyle \bigwedge _{y^{\star }\in Y^{\star }}\bigvee _{x^{\star }\in X^{\star }}x^{\star }|_{Y}=y^{\star }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d3802ccca96588c73b2ecd298fba76aab0aec4)
- Jeżeli
jest podzbiorem domkniętym, wypukłym, zbalansowanym i niepustym, to dla każdego
istnieje
takie, że
oraz
dla każdego ![{\displaystyle x\in F.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd108da27a98e5d1129dce17dcf26943ebb6cf38)