Średnia quasi-arytmetyczna

Średnia quasi-arytmetyczna lub f-średnia – uogólnienie bardziej znanych średnich jak średnia arytmetyczna lub średnia potęgowa.

Definicja

Jeżeli $f$ jest funkcją ciągłą, silnie monotoniczną przekształcającą odcinek $I$ w zbiór liczb rzeczywistych to definiujemy f-średnią dwóch liczb

$x_{1},x_{2}\in I$

jako

$M_{f}(x_{1},x_{2})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}\right).$

Podobnie dla $n$ liczb

$x_{1},\dots ,x_{n}\in I$

określamy f-średnią jako

$M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\ldots +f(x_{n})}{n}}\right).$

Przykłady

• Jeśli $f=id,$ to średnia quasi-arytmetyczna jest średnią arytmetyczną.
• Jeśli $f(x)=x^{p}$ $(p\neq 0),$ to średnia quasi-arytmetyczna jest średnią potęgową $p$-tego rzędu.
• Jeśli $f(x)=\log x,$ to jest to średnia geometryczna.

Bibliografia

• Peter Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2003. ISBN 83-204-2684-7.brak strony w książce