Błędy operacji arytmetycznych

Ogólne zasady obliczeń

Przy wykonywaniu obliczeń numerycznych jest rzeczą ważną, aby przestrzegać określonych i prostych reguł wypracowanych na podstawie praktyki obliczeniowej i pozwalających w sposób ekonomiczny wykorzystywać technikę obliczeniową i jej środki pomocnicze.

Wykonujący obliczenia powinien przede wszystkim rozpracować szczegółowo schemat obliczeniowy określający porządek działań, pozwalający uzyskać rezultat w sposób najprostszy i najszybszy. Jest to ważne zwłaszcza przy wykonywaniu wielu obliczeń według tego samego schematu.

Budowanie schematu obliczeniowego można zilustrować na następującym przykładzie.

Dana jest funkcja analityczna $y=f(x)$ i należy wykonać obliczenia jej wartości dla danych, kolejnych wartości jej argumentu $x=x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n}.$ Jeżeli liczba $n$ jest duża, to obliczanie po kolei wartości $f(x_{1}),\,f(x_{2}),\,\dots ,\,f(x_{n})$ według schematu $y_{i}=f(x_{i}),(i=1,\,2,\,\dots ,\,n)$ nie jest celowe. Należy natomiast funkcję $f$ przedstawić jako złożenie operacji elementarnych w postaci

$f(x)=f_{m}(\,\dots (f_{2}(f_{1}(x))),$

które można wykonywać kolejnymi etapami

$u_{i}=f_{1}(x_{i}),\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n),$

$v_{i}=f_{2}(u_{i}),\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n),$

...................................................

$y=f_{m}(w_{i}),\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).$

Dla przykładu rozważmy funkcję

$y={\frac {e^{x}-\cos x}{1+x^{2}}}+{\sqrt {1+\sin ^{2}x}},$

której wartości należy obliczyć dla kolejnych wartości argumentu $x.$

Obliczenie najwygodniej jest przeprowadzić tabelarycznie

$x$	$x^{2}$	$e^{x}$	$\sin x$	$\cos x$	$e^{x}-\cos x$	$1+x^{2}$	${\frac {e^{x}-\cos x}{1+x^{2}}}$	$\sin ^{2}x$	$\cdots$	${}\;y\;{}$
$x_{1}$	$x_{1}^{2}$	$e^{x_{1}}$	$\cdots$
$x_{2}$	$x_{2}^{2}$	$e^{x_{2}}$	$\cdots$
$\cdots$	$\cdots$

wykonując kolejnymi etapami seryjne obliczenia elementów poszczególnych kolumn. Ostatnia kolumna zawiera rozwiązanie postawionego zadania.

Istotnym elementem obliczeń jest stała kontrola nieuchronnie powstających błędów liczbowych.

Błąd względny i bezwzględny

Liczbą przybliżoną nazywa się liczbę $a$ nieznacznie różniącą się od liczby dokładnej $A$. Jeżeli wiadomo, że $a<A,$ to $a$ nazywa się przybliżeniem $A$ z niedomiarem. Gdy jest natomiast $a>A,$ to przybliżenie jest z nadmiarem. I tak na przykład liczba $1{,}41$ przybliża dokładną wartość ${\sqrt {2}}$ z niedomiarem, a liczba $1{,}42$ – z nadmiarem. Gdy $a$ przybliża $A,$ to piszemy $a\approx A.$

Błędem $\Delta a$ liczby przybliżonej nazywa się różnicę $\Delta a=A-a$ (czasem $\Delta a=a-A$). Z tej definicji wynika, że $A=a+\Delta a.$

• Definicja 1: Błędem bezwzględnym (absolutnym) $\Delta$ liczby przybliżonej $a$ nazywana jest wartość bezwzględna różnicy liczb $a\;i\;A$ tzn.

${}\qquad \Delta =|A-a|.$

Ze wzoru tego wynika, że błąd bezwzględny liczby $a$ można określić tylko wtedy, gdy znana jest liczba dokładna $A.$

• Definicja 2: Granicznym błędem bezwzględnym $\Delta _{a}$ nazywana jest dowolna liczba nie mniejsza od błędu bezwzględnego, tzn.

${}\qquad \Delta _{a}\geqslant |A-a|=\Delta .$

Wartość dokładna $A$ mieści się w granicach

$a-\Delta _{a}\leqslant A\leqslant a+\Delta _{a}\quad {}$ tzn.

$A=a\pm \Delta _{a}.$

(1)

• Przykład:

Dla danej liczby $a=3{,}14$ reprezentującej liczbę $\pi$ określić jej graniczny błąd absolutny. Ponieważ zachodzą nierówności

$3{,}14-\Delta _{a}\leqslant \pi =3{,}14159\leqslant 3{,}14+\Delta _{a},$

otrzymujemy

• dla $\Delta _{a}=0{,}01:\quad 3{,}13<\pi <3{,}15;$
• dla $\Delta _{a}=0{,}001:\quad 3{,}139<\pi <3{,}141;$
• dla $\Delta _{a}=0{,}0001:\quad 3{,}1399<\pi \nless 3{,}1401.$

Wynika stąd, że granicznym błędem absolutnym jest $\Delta _{a}=0{,}001.$

Błąd bezwzględny nie określa w sposób jednoznaczny dokładności obliczeń i pomiarów. I tak na przykład, gdy przy pomiarze długości dwu prętów otrzymano wyniki $l_{1}=100{,}8\;\mathrm {cm} \pm 0{,}1\;\mathrm {cm}$ oraz $l_{2}=5{,}2\;\mathrm {cm} \pm 0{,}1\;\mathrm {cm} ,$ to większą dokładność uzyskano w pierwszym przypadku. Dla oceny dokładności istotny jest błąd bezwzględny popełniony przy pomiarze jednostki długości, czyli tzw. błąd względny.

• Definicja 3: Błędem względnym $\delta$ danej liczby przybliżonej $a$ nazywa się stosunek błędu bezwzględnego $\Delta$ tej liczby, do modułu liczby dokładnej $A\;(A\neq 0)$ tzn.

${}\qquad \delta ={\frac {\Delta }{|A|}}.$

• Definicja 4: Granicznym błędem względnym $\delta _{a}$ liczby przybliżonej $a$ jest każda liczba nie mniejsza od błędu względnego tej liczby, tzn.

${}\qquad \delta _{a}\geqslant \delta ={\frac {\Delta }{|A|}}.$

Stąd

$\Delta _{a}=|A|\delta _{a}\approx |a|\delta _{a},$

zaś na podstawie (1)

$(1-\delta _{a})a\leqslant A\leqslant (1+\delta _{a})a,\qquad {}$ tzn.

$A=(1\pm \delta _{a})a.$

(2)

• Przykład:

Ciężar $1\,\mathrm {dm} ^{3}$ wody w temperaturze $0\,^{\circ }\!{\text{C}}$ waży $p=999{,}847\,G\pm 0{,}001\,G.$

Należy określić graniczny błąd względny wyniku ważenia.

$\Delta _{p}=0{,}001\,G,\;p\leqslant 999{,}846\,G.$

Stąd

$\delta _{p}={\frac {0{,}001}{999{,}846}}\approx 10^{-4}\%.$

• Przykład:

Przy określaniu stałej gazowej dla powietrza otrzymano wartość przybliżoną ${\tilde {R}}=29{,}25.$ W jakich granicach zawiera się wartość dokładna jeżeli pomiaru dokonano z błędem $0{,}1\%?$ Ponieważ $\delta _{R}=0{,}001,$ zatem $\Delta _{R}=R\delta _{R}\approx 0{,}03$ i $29{,}22\leqslant R\leqslant 29{,}28.$

Reprezentacja liczb

W pozycyjnym zapisie dziesiętnym liczba $a$ jest zapisywana w postaci skończonego lub nieskończonego rozwinięcia

${\begin{aligned}a=\alpha _{m}10^{m}&+\alpha _{m-1}10^{m-1}+\alpha _{m-2}10^{m-2}+\,\dots \\[1ex]&+\alpha _{m-n+1}10^{m-n+1}\,+\dots ,\end{aligned}}$

w którym $\alpha _{i}$ są kolejnymi cyframi reprezentowanej liczby, przy czym $\alpha _{i}=0,\,1,\,2,\,\dots ,\,9\;{}$ oraz ${}\;\alpha _{m}\neq 0.$ Rozwinięcie skończone reprezentuje albo liczbę dokładną albo przybliżoną.

Wszystkie cyfry rozwinięcia $\alpha _{i}=0,\,1,\,2,\,\dots ,\,9,\;(\alpha _{m}\neq 0),$ nazywane są cyframi znaczącymi liczby przybliżonej $a.$

Nie są cyframi znaczącymi zera dopisane formalnie na początku

$a=7\cdot 10^{-3}+0\cdot 10^{-4}+1\cdot 10^{-5}+0\cdot 10^{-6}={\underline {0{,}00}}7010$

lub na końcu

${\begin{aligned}a=2\cdot 10^{9}&+0\cdot 10^{8}+0\cdot 10^{7}\\[1ex]&+3\cdot 10^{6}+0\cdot 10^{5}=20030{\underline {00000}}\end{aligned}}$

dziesiętnego zapisu pozycyjnego liczby $a.$

• Definicja 5: Cyfrą znaczącą liczby przybliżonej $a,$ nazywana jest każda taka cyfra jej dziesiętnej reprezentacji, która nie jest zerem albo jest takim zerem, które występuje pomiędzy dwiema cyframi znaczącymi lub reprezentuje istotną, zachowaną cyfrę końcową tej liczby.

Na przykład w liczbie $0{,}002080$ pierwsze trzy zera nie są znaczące, ponieważ zostały formalnie dopisane jedynie dla uzyskania czytelności dziesiętnego zapisu liczby, zaś pozostałe dwa zera są znaczące, gdyż reprezentują rzeczywiste wartości cyfr tej liczby. Z tego powodu $0{,}002080\neq 0{,}00208,$ ponieważ pierwsza liczba ma cztery cyfry znaczące podczas gdy druga tylko trzy.

Na podstawie zapisu liczby w postaci $689000$ nie można dokładnie określić ilości jej cyfr znaczących. Problem znika, gdy liczbę tę zapiszemy w postaci $6{,}89\cdot 10^{5}$ (trzy cyfry znaczące) lub $6{,}8900\cdot 10^{5}$ (pięć cyfr znaczących).

• Definicja 6: Dokładną cyfrą znaczącą w dziesiętnym zapisie liczby przybliżonej $a,$ nazywa się taką cyfrę znaczącą, która reprezentuje wartość liczbową $\alpha \cdot 10^{m}$ obarczoną błędem bezwzględnym nie przekraczającym wartości $0{,}5\cdot 10^{m}.$

Tak więc, gdy jest wiadomo, że

$\Delta =|A-a|\leqslant 0{,}5\cdot 10^{m-n+1},$

(3)

to pierwsze $n$ cyfr $\alpha _{m},\,\alpha _{m-1},\,\dots ,\,\alpha _{m-n+1}$ tej liczby są dokładne.

Na przykład dla liczby dokładnej $A=35{,}97\;(m=1)$ liczba przybliżona $a=36{,}00$ ma trzy cyfry dokładne, ponieważ $|A-a|=0{,}03<{\tfrac {1}{2}}\cdot 10^{1-n+1}={\tfrac {1}{2}}\cdot 10^{-1}=0{,}05,\;{}$ gdy ${}\;n=3.$

• Definicja 7: Ilością cyfr dokładnych liczby przybliżonej $a$ nazywa się taką największą liczbę $n,$ dla której jest jeszcze spełniony warunek (3).

Zaokrąglanie liczb

Zaokrąglaniem liczby $a,$ dokładnej lub przybliżonej, nazywamy zastąpienie tej liczby inną liczbą $a_{1},$ o mniejszej ilości cyfr znaczących. Operację tę wykonuje się w taki sposób, aby zminimalizować błąd zaokrąglenia $|a-a_{1}|.$

Zaokrąglenie liczby $a$ do $n$ cyfr znaczących polega na odrzuceniu jej cyfr stojących na prawo od $n$-tej cyfry. Obowiązują przy tym następujące zasady:

• 1) jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza niż 5, to pozostawione cyfry pozostają bez zmiany;
• 2) jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa niż 5, to do ostatniej pozostawionej cyfry dodaje się jedność;
• 3) jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest równa 5, a pośród odrzuconych cyfr są cyfry niezerowe, to do ostatniej pozostawionej cyfry dodaje się jedność;
• 4) jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest równa 5 i wszystkie odrzucone cyfry są zerami, to ostatnia pozostawiona cyfra nie ulega zmianie, gdy jest parzysta, i powiększa się o jedność, gdy jest nieparzysta (zasada cyfry parzystej).

Zachowanie tych zasad gwarantuje, że błąd zaokrąglenia nie przekracza połowy wartości miejsca dziesiętnego ostatniej cyfry znaczącej.

Dokładność liczby przybliżonej zależy nie od liczby jej cyfr znaczących, ale od liczby jej dokładnych cyfr znaczących.

• Przykłady

Zaokrąglając liczbę $3{,}1415926535$ do wartości $3{,}1416,\;\;3{,}142,\;\;3{,}14,$ popełnia się błędy absolutne nie większe niż $0{,}5\cdot 10^{-4},\;\;0{,}5\cdot 10^{-3},\;\;0{,}5\cdot 10^{-2}.$

Podobnie zaokrąglając liczbę $1{,}2500$ do dwu cyfr znaczących (zgodnie z zasadą cyfry parzystej), otrzymuje się liczbę $1{,}2,$ popełniając błąd absolutny $0{,}05.$

Błąd względny a ilość cyfr dokładnych

• Twierdzenie: Jeżeli dodatnia liczba przybliżona $a$ ma $n$ cyfr dokładnych, to błąd względny $\delta$ tej liczby nie przekracza wartości $\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{n-1}$ dzielonej przez pierwszą cyfrę znaczącą $\alpha _{m}$ danej liczby, tzn.

$\delta ={\frac {1}{\alpha _{m}}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{n-1}.$

• Dowód: Niech liczba

${\begin{aligned}a=\alpha _{m}10^{m}&+\alpha _{m-1}10^{m-1}+\alpha _{m-2}10^{m-2}+\,\dots \\[1ex]&+\alpha _{m-n+1}10^{m-n+1}\,+\dots ,\quad (\alpha _{m}\geqslant 1)\end{aligned}}$

będzie przybliżeniem liczby dokładnej $A,$ mającym $n$ cyfr dokładnych.

Z definicji (3) błędu bezwzględnego

$\Delta =|A-a|\leqslant {\frac {1}{2}}\cdot 10^{m-n+1}$

wynika, że

$A\geqslant a-{\frac {1}{2}}\cdot 10^{m-n+1}.$

Nierówność ta staje się silniejsza, gdy liczbę $a$ zastąpimy liczbą $\alpha _{m}\cdot 10^{m}\leqslant a$ tzn.

$A\geqslant \alpha _{m}\cdot 10^{m}-{\frac {1}{2}}\cdot 10^{m-n+1}={\frac {1}{2}}\cdot 10^{m}\left(2\alpha _{m}-{\frac {1}{10^{n-1}}}\right).$

(3)

Prawa strona nierówności staje się najmniejsza, gdy $n=1{:}$

$A\geqslant {\frac {1}{2}}\cdot 10^{m}(2\alpha _{m}-1).$

Ponieważ

$2\alpha _{m}-1=\alpha _{m}+(\alpha _{m}-1)\geqslant \alpha _{m},\quad {}$ zatem

$A\geqslant {\frac {1}{2}}\cdot \alpha _{m}\cdot 10^{m}\quad {}$ oraz

$\delta ={\frac {\Delta }{A}}\leqslant {\frac {{\frac {1}{2}}\cdot 10^{m-n+1}}{{\frac {1}{2}}\alpha _{m}\cdot 10^{m}}}={\frac {1}{\alpha _{m}}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{n-1}.\quad {}$ c.n.d.

• Wniosek 1: Granicznym błędem względnym liczby $a$ jest

$\delta _{a}={\frac {1}{\alpha _{m}}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{n-1},$

(4)

przy czym $n$ jest ilością cyfr dokładnych.

• Wniosek 2: Jeżeli liczba $a$ ma nie mniej niż dwie cyfry dokładne (tzn. $n\geqslant 2),$ to we wzorze (3) można pominąć liczbę ${\tfrac {1}{10^{n-1}}}$ i wtedy zamiast (4) otrzymuje się

$\delta _{a}={\frac {1}{2\alpha _{m}}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{n-1}.$

Przykład 1: Ocena granicznego błędu względnego liczby $3{,}14$ przybliżającej dokładną wartość liczby $\pi .$ W tym przypadku $\alpha _{m}=3,\;n=3$ i mamy

$\delta _{a}={\frac {1}{2\cdot 3}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{3-1}={\frac {1}{600}}={\frac {1}{6}}\%.$

Przykład 2: Określenie liczby $n$ cyfr w zapisie dokładnej liczby ${\sqrt {20}},$ potrzebnej do uzyskania dokładności $0{,}1\%.$ W tym przypadku $\alpha _{m}=4,\;\delta _{a}=0{,}001.$

$\delta _{a}={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{10^{n-1}}}\right)\leqslant 0{,}001\quad \to \quad n\geqslant 4.$

Przykład 3: Liczba przybliżona $a=24253$ dana jest z błędem względnym $1\%.$ Ile ta liczba ma dokładnych znaków?

$\Delta =24253\cdot 0{,}01\approx 2{,}43\cdot 10^{2}.$

Wynika stąd, że liczba $a$ ma tylko dwie cyfry dokładne i powinna być zapisana jako $a=2{,}4\cdot 10^{4}.$

Błąd sumowania

Twierdzenie 1: Błąd bezwzględny sumy algebraicznej kilku liczb przybliżonych nie przekracza sumy błędów bezwzględnych tych liczb.

Dowód: Niech będą dane liczby przybliżone $x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n}$ i ich suma

${}\quad u=\pm x_{1}\pm x_{2}\pm ,\,\dots ,\,\pm x_{n}.$

Błędy bezwzględne wszystkich składników sumują się, tzn.

${}\quad \Delta u=\pm \Delta x_{1}\pm \Delta x_{2}\pm ,\,\dots ,\pm \,\Delta x_{n}$

i w konsekwencji

${}\quad |\Delta u|\leqslant |\Delta x_{1}|+|\Delta x_{2}|+\,\dots ,\,+|\Delta x_{n}|.\qquad {}$ c.n.d.

Oznacza to, że jako graniczny błąd bezwzględny sumy algebraicznej można przyjąć sumę granicznych błędów bezwzględnych wszystkich jej składników:

$\Delta _{u}=\Delta _{x_{1}}+\Delta _{x_{2}}+\,\dots ,\,+\Delta _{x_{n}}.$

Ze wzoru tego wynika, że graniczny błąd bezwzględny sumy nie może być mniejszy od granicznego błędu bezwzględnego tego składnika, który jest najmniej dokładny.

Zasada: Przy sumowaniu liczb o różnej dokładności względnej należy:

• 1) liczby, które mają najkrótszy zapis dziesiętny (tzn. obarczone są największym błędem absolutnym $\Delta$) pozostawiamy bez zmiany;
• 2) pozostałe liczby zaokrąglamy tak, aby ich błędy absolutne były mniejsze o jeden lub dwa rzędy od błędu $\Delta ;$
• 3) sumujemy liczby ze wszystkimi zachowanymi znakami;
• 4) otrzymany rezultat zaokrąglamy o jeden znak.

Przy zaokrąglaniu składników sumy do $m$-tej cyfry dziesiętnej, błąd zaokrąglenia sumy w najniekorzystniejszym przypadku nie przekracza wartości

$\Delta _{z}\leqslant n\cdot {\frac {1}{2}}\cdot 10^{m}.$

Pełny błąd $\Delta$ rezultatu sumowania składa się z trzech składników:

• 1) sumy błędów granicznych wszystkich składników sumy;
• 2) bezwzględnej wartości sumy błędów zaokrąglenia tych składników (z uwzględnieniem ich znaków);
• 3) błędu końcowego zaokrąglenia rezultatu sumowania.

Twierdzenie 2: Jeżeli wszystkie składniki sumy mają ten sam znak, to graniczny błąd względny ich sumy nie przekracza, największego wśród składników, błędu granicznego.

Dowód: Niech będzie

$u=x_{1}+x_{2}+\,\dots \,+x_{n},\quad x_{i}>0,\quad i=1,\,2,\,\dots ,\,n$

i niech dokładną wartością sumy będzie

$A=A_{1}+A_{2}+\,\dots ,\,A_{n},$

gdzie $A_{i},\;(A_{i}>0),\;i=1,\,2,\,\dots ,\,n$ jest dokładną wartością $i$-tego składnika sumy.

Wówczas graniczną wartością błędu sumy jest

$\delta _{u}={\frac {\Delta _{u}}{A}}={\frac {\Delta _{x_{1}}+\Delta _{x_{2}}+\,\dots \,\Delta _{x_{n}}}{A_{1}+A_{2}+\,\dots ,\,+A_{n}}}.$

Ponieważ

$\delta _{x_{i}}={\frac {\Delta _{x_{i}}}{A_{i}}},\quad i=1,\,2,\,\dots ,\,n,$

to

$\Delta _{x_{i}}=A_{i}\delta _{x_{i}}$

i stąd

$\delta _{u}={\frac {A_{1}\delta _{x_{1}}+A_{2}\delta _{x_{2}}+\,\dots \,A_{n}\delta _{x_{n}}}{A_{1}+A_{2}+\,\dots ,\,+A_{n}}}.$

Niech ${\bar {\delta }}$ będzie największym z błędów względnych $\delta _{x_{i}}$ tzn. $\delta _{x_{i}}\leqslant {\bar {\delta }},\quad i=1,\,2,\,\dots ,\,n.$

Wtedy

$\delta _{u}\leqslant {\frac {{\bar {\delta }}(A_{1}+A_{2}+\,\dots ,\,A_{n})}{A_{1}+A_{2}+\,\dots ,\,+A_{n}}}={\bar {\delta }}$

i ostatecznie

$\delta _{u}\leqslant {\bar {\delta }}=\max(\delta _{x_{1}},\,\delta _{x_{1}},\,\dots ,\,\delta _{x_{n}}).\quad {}$ c.n.d.

Błąd odejmowania

Niech $u=x_{1}-x_{2}$ będzie różnicą dwu liczb przybliżonych. Ponieważ przy odejmowaniu tych liczb ich graniczne błędy absolutne mogą się sumować, to graniczny błąd absolutny różnicy trzeba obliczać ze wzoru

$\Delta _{u}=\Delta _{x_{1}}+\Delta _{x_{2}}.$

Graniczny błąd względny różnicy ma więc wartość

$\delta _{u}={\frac {\Delta _{x_{1}}+\Delta _{x_{2}}}{u}}={\frac {\Delta _{u}}{u}}.$

Drastyczny wzrost błędu obliczonego tym wzorem następuje, gdy liczby $x_{1},\,x_{2}$ niewiele się różnią i w konsekwencji liczba $u$ ma małą wartość.

Na przykład gdy $x_{1}=47{,}132\;{}$ i ${}\;x_{2}=47{,}111$ ich różnica wynosi $u=0{,}021$ i wtedy

$\Delta _{u}=\Delta _{x_{1}}+\Delta _{x_{2}}=0{,}0005+0{,}0005=0{,}001,$

$\delta _{x_{1}}={\frac {0{,}0005}{47{,}132}}\approx 0{,}00001,$

$\delta _{x_{2}}={\frac {0{,}0005}{47{,}111}}\approx 0{,}00001,$

$\delta _{u}={\frac {0{,}001}{0{,}021}}\approx 0{,}05.$

Graniczny błąd względny różnicy jest więc $5000$ razy większy od analogicznego błędu każdej z liczb $x_{1},\,x_{2}.$

Tak więc w obliczeniach należy unikać odejmowania liczb niewiele się różniących. Jeżeli nie można tego uniknąć, w liczbach odejmowanych należy zachować odpowiednio większą ilość cyfr dokładnych.

Błąd mnożenia

Twierdzenie: Błąd względny iloczynu kilku liczb przybliżonych, różnych od zera, nie przekracza sumy błędów względnych tych liczb.

Dowód: Niech będzie $u=x_{1}\cdot x_{2}\,\dots \,x_{n},\;\;x_{i}>0\quad {}$ i

$\ln u=\ln x_{1}+\ln x_{2}+\,\dots \,+\ln x_{n}.$

Korzystając ze wzoru przybliżonego $\Delta (\ln u)\approx {\frac {1}{u}}\Delta u,$ otrzymujemy

${\frac {\Delta u}{u}}={\frac {\Delta x_{1}}{x_{1}}}+{\frac {\Delta x_{2}}{x_{2}}}+\,\dots \,+{\frac {\Delta x_{n}}{x_{n}}}.$

Stąd

$\left|{\frac {\Delta u}{u}}\right|\leqslant \left|{\frac {\Delta x_{1}}{x_{1}}}\right|+\left|{\frac {\Delta x_{2}}{x_{2}}}\right|+\,\dots \,+\left|{\frac {\Delta x_{n}}{x_{n}}}\right|.$

Jeżeli $A_{i},\;(i=1,\,2,\,\dots \,n)$ są dokładnymi wartościami liczb $x_{i},\;(i=1,\,2,\,\dots \,n)$ i błędy $|\Delta x_{i}|$ są małe w porównaniu z wartościami $x_{i},$ to możemy przyjąć, że

$\left|{\frac {\Delta _{x_{i}}}{x_{i}}}\right|\approx \left|{\frac {\Delta _{x_{i}}}{A_{i}}}\right|=\delta _{i}\quad i\quad \left|{\frac {\Delta _{u}}{u}}\right|=\delta ,$

gdzie $\delta _{i}$ są błędami względnymi liczb $x_{i},\;(i=1,\,2,\,\dots ,\,n),$ a $\delta$ – błędem względnym iloczynu.

Wynika stąd, że

$\delta \leqslant \delta _{1}+\delta _{2}+\,\dots \,+\delta _{n}.\qquad {}$ c.n.d.

Wzór ten obowiązuje również i wtedy, gdy mnożone liczby mają różne znaki.

Graniczny błąd względny iloczynu ma wartość

$\delta _{u}=\delta _{x_{1}}+\delta _{x_{2}}+\,\dots \,+\delta _{x_{n}}.$

W przypadku, gdy wszystkie mnożniki $x_{i}$ są dokładne z wyjątkiem jednego, wtedy ze wzoru tego wynika, że graniczny błąd względny iloczynu jest praktycznie równy względnemu błędowi granicznemu mnożnika najmniej dokładnego, tzn.

$\delta _{u}\approx \max(\delta _{x_{1}},\,\delta _{x_{2}},\,\dots \,\delta _{x_{n}}).$

Graniczny błąd absolutny $\Delta _{u}$ iloczynu wyraża się wzorem

$\Delta _{u}=|u|\delta _{u}.$

Przykład: Określenie liczby cyfr znaczących iloczynu $u$ dokładnych liczb przybliżonych $x_{1}=12{,}2\;{}$ i ${}\;x_{2}=73{,}56.$

$\Delta _{x_{1}}=0{,}05,\;\;\Delta _{x_{2}}=0{,}005,$

$\delta _{u}=\delta _{x_{1}}+\delta _{x_{2}}={\frac {0{,}05}{12{,}2}}+{\frac {0{,}005}{73{,}56}}=0{,}0042.$

Ponieważ $u=12{,}2\cdot 73{,}56=897{,}432,$ to

$\Delta _{u}=u\delta _{u}=897{,}432\cdot 0{,}0042=3{,}6$

i iloczyn ma tylko dwie cyfry dokładne, w związku z czym wynik mnożenia powinien być zapisany jako

$u=897\pm 4.$

W przypadku szczególnym, gdy liczba przybliżona $x$ jest mnożona przez liczbę dokładną $k,$

$u=k\cdot x,$

graniczny błąd względny nie ulega zmianie, a graniczny błąd absolutny powiększa się $k$-krotnie, tzn.:

$\delta _{u}=\delta _{x},\qquad \Delta _{u}=|k|\Delta _{x}.$

Przy mnożeniu kilku liczb przybliżonych należy stosować się do następujących reguł:

• 1) zaokrąglać liczby tak, aby każda z nich zachowała o jedną cyfrę znaczącą więcej niż w mnożniku najmniej dokładnym;
• 2) w iloczynie zachować tyle cyfr znaczących ile ich ma mnożnik najmniej dokładny.

Na przykład przy mnożeniu liczb $x_{1}=2{,}5,\;x_{2}=72{,}397$ według tych reguł otrzymuje się

$x_{1}\cdot x_{2}=2{,}5\cdot 72{,}4=181\approx 1{,}8\cdot 10^{2}.$

Ilość cyfr dokładnych iloczynu

Niech będzie dany iloczyn $u=x_{1}\cdot x_{2}\,\dots \,x_{n}\;\;(n\leqslant 10),$ w którym każdy z mnożników ma przynajmniej $m\;(m>1)$ cyfr dokładnych i niech cyfry $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\dots ,\,\alpha _{n}$ będą pierwszymi cyframi znaczącymi w zapisie dziesiętnym mnożników.

$x_{i}=\alpha _{i}\cdot 10^{p_{i}}+\beta _{i}\cdot 10^{p_{i}-1}+\,\dots \quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).$

Ponieważ

$\delta _{x_{i}}={\frac {1}{2\alpha _{i}}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{m-1},\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n),$

zatem

$\delta _{u}=\sum _{i=1}^{n}\delta _{x_{i}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\alpha _{i}}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{m-1}\leqslant {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{m-2},$

(a)

ponieważ

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\alpha _{i}}}\leqslant 10\;{}$ gdy ${}\;n\leqslant 10.$

• Wniosek: Jeżeli wszystkie mnożniki mają $m$ cyfr dokładnych, a ich ilość nie przekracza liczby $n=10,$ to ilość cyfr dokładnych iloczynu maleje o 1 lub 2.

Wynika stąd, że na to aby iloczyn miał $m$ cyfr dokładnych potrzeba, aby mnożniki miały ilość cyfr znaczących większą o 1 lub 2 od m. Jeżeli mnożniki mają różną dokładność, to jako $m$ należy przyjmować liczbę cyfr dokładnych mnożnika najmniej dokładnego.

Tak więc liczba cyfr dokładnych iloczynu niewielkiej liczby mnożników (rzędu dziesięciu) może być o jedną lub dwie jednostki mniejsza od liczby cyfr dokładnych mnożnika najmniej dokładnego.

Przykład 1: Określenie błędu względnego i ilości cyfr znaczących iloczynu $u=93{,}87\cdot 9{,}236\;(m=4).$ Na podstawie wzoru (a)

$\delta _{u}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{9}}+{\frac {1}{9}}\right)\left({\frac {1}{10^{3}}}\right)={\frac {1}{9}}\cdot 10^{-3}<{\frac {1}{2}}10^{-3},$

a liczba cyfr dokładnych jest równa $n=3.$

Przykład 2: Określenie błędu względnego i ilości cyfr znaczących iloczynu $u=17{,}63\cdot 14{,}285\;(m=4).$

Na podstawie wzoru (a)

$\delta _{u}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}\right)\left({\frac {1}{10^{3}}}\right)=1\cdot 10^{-3},$

a liczba cyfr dokładnych jest równa $n=2.$

Błąd dzielenia

Jeżeli $u={\frac {x}{y}},$ to $\ln u=\ln x-\ln y\quad {}$ to

${\frac {\Delta u}{u}}={\frac {\Delta x}{x}}-{\frac {\Delta y}{y}}.$

Stąd

$\left|{\frac {\Delta u}{u}}\right|\leqslant \left|{\frac {\Delta x}{x}}\right|+\left|{\frac {\Delta y}{y}}\right|.$

• Twierdzenie: Błąd względny ilorazu nie przekracza sumy błędów względnych dzielnej i dzielnika.

Wynika stąd, że jeżeli $u={\frac {x}{y}},$ to $\delta _{u}=\delta _{x}+\delta _{y}.$

• Dowód jak dla iloczynu.
• Przykład: Określenie liczby cyfr dokładnych ilorazu $u=25{,}7/3{,}6=7{,}14$ w przypadku, gdy dzielna i dzielnik są liczbami dokładnymi:

$\delta _{u}={\frac {0{,}05}{25{,}7}}+{\frac {0{,}05}{3{,}6}}=0{,}002+0{,}014=0{,}016.$

Ponieważ $u=7{,}14,$ to $\Delta _{u}=0{,}016\cdot 7{,}14=0{,}11.$

Stąd $u=7{,}14\pm 0{,}11.$

Ilość cyfr dokładnych ilorazu

Jeżeli dzielna $x$ i dzielnik $y$ mają po $m$ cyfr dokładnych, to iloraz ma błąd względny

$\delta _{u}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}\right)\left({\frac {1}{10}}\right)^{m-1},$

gdzie $\alpha$ i $\beta$ są pierwszymi cyframi dziesiętnymi liczb $x$ i $y.$

Ze wzoru tego wynika, że:

• 1) jeżeli $\alpha \geqslant 2\;{}$ i ${}\;\beta \geqslant 2,$ to iloraz ma przynajmniej $m-1$ cyfr dokładnych;
• 2) jeżeli $\alpha =1\;{}$ lub ${}\;\beta =1,$ to iloraz ma tylko $m-2$ cyfr dokładnych.

Błąd względny potęgowania

Jeżeli $u=x^{m},$ to wtedy $\ln u=m\cdot \ln x$ i mamy

$\left|{\frac {\Delta u}{u}}\right|=m\left|{\frac {\Delta x}{x}}\right|.$

Stąd wynika, że

$\delta _{u}=m\delta _{x}$

tzn. graniczny błąd względny $m$-tej potęgi liczby $x$ jest $m$ razy większy od granicznego błędu względnego liczby potęgowanej.

Błąd względny pierwiastkowania

Niech będzie $u={\sqrt[{m}]{x}}\;{}$ tzn. ${}\;u=x^{\frac {1}{m}}.$ Stąd

$\delta _{u}={\frac {1}{m}}\delta _{x}\quad {}$

tzn. graniczny błąd względny pierwiastka $m$-tego stopnia jest $m$ razy mniejszy od analogicznego błędu liczby pierwiastkowanej.

Błąd funkcji wielu zmiennych

Podstawowe zadanie teorii błędów polega na tym, aby określić wartość błędu wartości funkcji na podstawie danych wartości błędów jej argumentów.

Niech będzie dana funkcja

$u=f(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})$

i niech

$|\Delta x_{i}|,\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n)$

będą absolutnymi błędami jej argumentów. Błąd absolutny funkcji wyraża się wzorem

$|\Delta u|=|f(x_{1}+\Delta x_{1},\,x_{2}+\Delta x_{2},+\cdots \,+x_{n}+\Delta x_{n}|.$

W praktyce błędy $|\Delta x_{i}|$ są wielkościami małymi i dlatego ich kwadraty i wyższe potęgi można pomijać. Dzięki temu można napisać

$|\Delta u|\approx |df(x_{1},x_{2},\,\dots ,\,x_{n})|=\left|\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\Delta x_{i}\right|\leqslant \sum _{i=1}^{n}\left|{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right|\left|\Delta x_{i}\right|.$

(a)

Oznaczymy przez $\Delta _{x_{i}}\;(i=1,\,2,\,\dots ,n)$ graniczne błędy absolutne argumentów funkcji, a przez $\Delta _{u}$ – graniczny błąd absolutny funkcji $u$ i dzięki temu otrzymujemy

$\Delta _{u}=\sum _{i=1}^{n}\left|{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right||\Delta _{x_{i}}|.$

Ze wzoru (a) wynika ocena błędu względnego funkcji

$\delta _{u}={\frac {|\Delta _{u}|}{|u|}}\leqslant \sum _{i=1}^{n}{\frac {\left|{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right|}{|u|}}\left|\Delta x_{i}\right|=\sum _{i=1}^{n}\left|{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\ln f(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})\right||\Delta x_{i}|,$

a granicznym błędem względnym jest

$\delta _{u}=\sum _{i=1}^{n}\left|{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\ln u\right||\Delta x_{i}|.$

Zadanie odwrotne

Zadanie to polega na tym, aby określić jakie powinny być błędy absolutne argumentów funkcji, aby jej błąd absolutny nie przekroczył danej wartości.

Zadanie to jest matematycznie nieokreślone, ponieważ dany błąd $\Delta _{u}$ funkcji $u=f(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})$ może być zmieniany na różne sposoby.

Najprostsze rozwiązanie zadania odwrotnego polega na przyjęciu zasady równych wpływów, zgodnie z którą wszystkie różnice cząstkowe

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\Delta x_{i},\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n)$

jednakowo wpływają na powstawanie ogólnego błędu względnego $\Delta _{u}$ funkcji $u=f(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n}).$

Jeżeli wielkość ogólnego błędu absolutnego $\Delta _{u}$ jest dana, to

$\Delta _{u}=\sum _{i=1}^{n}\left|{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\right|\Delta _{x_{i}}.$

(b)

Zakładając, że składniki sumy są sobie równe, otrzymujemy

$\left|{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}\right|\Delta _{x_{1}}=\left|{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}}\right|\Delta _{x_{2}}=\cdots =\left|{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right|\Delta _{x_{n}}={\frac {\Delta _{u}}{n}}.$

Stąd

$\Delta _{x_{i}}={\frac {\Delta _{u}}{n\left|{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\right|}},\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).$

• Przykład 1:

Dla cylindra o promieniu $R\approx 2\,\mathrm {m}$ i wysokości $H\approx 3\,\mathrm {m}$ określić wartości błędów absolutnych wielkości $R$ i $H$ zapewniających dokładność obliczenia objętości $V$ z błędem $0{,}1\,\mathrm {m} ^{3}.$

$V=\pi R^{2}H,\quad \Delta _{V}=0{,}1\,\mathrm {m} ^{3},$

Przyjmując, że $R=2\,\mathrm {m} ,\;H=3\,\mathrm {m} ,\;\pi =3{,}14$ otrzymujemy:

${\frac {\partial V}{\partial \pi }}=R^{2}H=12,\;\;{\frac {\partial V}{\partial R}}=2\pi RH=37{,}7,\;\;{\frac {\partial V}{\partial H}}=\pi R^{2}=12{,}6.$

Stąd

$\Delta _{\pi }={\frac {0{,}1}{3\cdot 12}}<0{,}003,\;\Delta _{R}={\frac {0{,}1}{3\cdot 37{,}7}}<0{,}003,\;\Delta _{H}<{\frac {0{,}1}{3\cdot 12{,}6}}<0{,}003.$

• Przykład 2:

Obliczyć wartość funkcji $u=6x^{2}(\lg \,x-\sin 2y)$ z dokładnością do dwu cyfr znaczących po przecinku, gdy dane są przybliżone wartości argumentów $x=15{,}2\;{}$ i ${}\;y=57^{\circ }.$

$u=6x^{2}(\lg \,\sin 2y)=6(15{,}2)^{2}(\lg \,15{,}2-\sin \,114^{\circ })=371{,}9,$

${\frac {\partial u}{\partial x}}=12x(\lg \,x-\sin 2y)+6x^{2}{\frac {0{,}43429}{x}}=88{,}54,$

${\frac {\partial u}{\partial y}}=-12x^{2}\cos 2y=1127{,}7.$

Dla uzyskania wyniku z dwiema dokładnymi cyframi po przecinku konieczne jest spełnienie warunku $\Delta _{u}=0{,}005.$ Zgodnie z zasadą równych wpływów jest

$\Delta _{x}={\frac {\Delta _{u}}{2\left|{\frac {\partial u}{\partial x}}\right|}}={\frac {0{,}005}{2\cdot 88{,}54}}=0{,}000028,$

$\Delta _{y}={\frac {\Delta _{u}}{2\left|{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|}}={\frac {0{,}005}{2\cdot 1127{,}7}}=0{,}0000022\,\mathrm {rad} =0^{''}\!\!,45.$

• Przykład 3:

Z jaką dokładnością należy zmierzyć promień koła $R=30{,}5\,\mathrm {cm}$ i z iloma cyframi dokładnymi przyjąć liczbę $\pi ,$ aby dało się obliczyć powierzchnię tego koła z dokładnością do $0{,}1\%.$

$s=\pi R^{2}\;{}$ i ${}\;\ln s=\ln \pi +2\ln R.$

Zgodnie z zasadą równych wpływów należy przyjąć

${\frac {\Delta _{\pi }}{\pi }}=0{,}0005,\quad {\frac {2\Delta _{R}}{R}}=0{,}0005,$

${\frac {\Delta _{s}}{s}}={\frac {\Delta _{\pi }}{\pi }}+{\frac {2\Delta _{R}}{R}}=0{,}001.$

(c)

Stąd

$\Delta _{\pi }=3{,}14\cdot 0{,}0005\leqslant 0{,}0016,$

$\Delta _{R}={\frac {R}{2}}\cdot 0{,}0005=0{,}00025R\leqslant 0{,}0076\,\mathrm {cm} .$

Należałoby zatem przyjąć, że $\pi =3{,}14$ (i wtedy ${\frac {\Delta _{\pi }}{\pi }}={\frac {0{,}005}{3{,}14}}=0{,}0016),$ mierzyć zaś wielkość promienia $R$ z dokładnością do tysięcznych części centymetra. Taka dokładność pomiaru nie jest praktycznie osiągalna i dlatego wygodniej jest przyjąć $\pi =3{,}142\;\;({\frac {\Delta _{\pi }}{\pi }}={\frac {0{,}0005}{3{,}142}}=0{,}00016)$ i obliczyć $\Delta R$ ze wzoru (c):

${\frac {2\Delta R}{R}}=0{,}001-0{,}00016=0{,}0084\quad \to \quad \Delta R={\frac {R}{2}}\cdot 0{,}0084=0{,}13\,\mathrm {cm} .$

W przypadku, gdy graniczne błędy absolutne wszystkich argumentów $x_{i},\;(i=1,\,2,\,\dots ,\,n)$ są sobie równe, tzn. gdy

$\Delta _{x_{1}}=\Delta _{x_{2}}=\cdots =\Delta _{x_{n}},$

ze woru (b) wynika, że

$\Delta _{x_{i}}={\frac {\Delta _{u}}{\sum _{i=1}^{n}\left|{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\right|}},\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).$

(d)

Jeżeli natomiast są sobie równe graniczne błędy względne wszystkich argumentów, tzn. gdy

$\delta _{x_{1}}=\delta _{x_{1}}=\delta _{x_{2}}=\,\dots \,=\delta _{x_{2}},\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n),$

to otrzymujemy stąd

${\frac {\Delta _{x_{i}}}{|x_{i}|}}={\frac {\Delta _{x_{2}}}{|x_{2}|}}=\,\dots \,={\frac {\Delta _{x_{n}}}{|x_{n}|}}=k.$

Wynika stąd, że

$\Delta _{x_{i}}=k|x_{i}|,\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n)$

i na podstawie wzoru (d)

$\Delta _{u}=k\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\right|.$

Dokładność danych tablicowych

W praktyce obliczeniowej często zdarza się, że należy obliczyć wartość argumentu funkcji na podstawie jej wartości danych tabelarycznie. Na przykład trzeba obliczyć wartość kąta odpowiadającego danej wartości jego sinusa. Jest oczywiste, że błąd wartości funkcji przekłada się na wartość błędu jej argumentu.

Niech będzie dana tablica z jednym wejściem dla funkcji $y=f(x).$ Jeżeli ta funkcja jest różniczkowalna, to dla dostatecznie małych wartości $|\Delta x|$ mamy

$|\Delta y|=|f^{\,'}(x)|\,|\Delta x|$

i stąd

$|\Delta x|={\frac {|\Delta y|}{|f^{\,'}(x)|}}\quad {}$ lub ${}\quad \Delta _{x}={\frac {1}{y^{'}}}\Delta _{y}.$

1. Logarytmy

Jeżeli $y=\ln x,\,{}$ to ${}\,y^{'}={\frac {1}{x}}$
i ${}\quad \Delta _{x}=x\Delta _{y}.$

Jeżeli $y=lg\,x,\,{}$ to ${}\,y^{'}={\frac {M}{x}},\,\;M=0{,}43439$ i

${}\quad \Delta _{x}={\frac {1}{M}}x\Delta _{y}=2{,}30x\Delta _{y}.$

(a)

2. Funkcje trygonometryczne

1) Jeżeli $y=\sin x,\;(0<x<{\tfrac {\pi }{2}}),\,{}$ to ${}\,y^{'}=\cos x$
i ${}\quad \Delta _{x}=\Delta _{y}\,\sec x\;\mathrm {rad} .$

2) Dla funkcji $y=\operatorname {tg} x,\;(0<x<{\tfrac {\pi }{2}}),$ mamy

$y^{'}=\sec ^{2}x$

i ${}\quad \Delta _{x}=\Delta _{y}\cos ^{2}x\;\mathrm {rad} .$

3) Gdy $y=\lg(\sin x),(0<x<{\tfrac {\pi }{2}}),$ to

$y^{'}=M\operatorname {ctg} x\quad {}$ i ${}\quad \Delta _{x}=2{,}30\operatorname {tg} x\Delta _{y}\;\mathrm {rad} .$

(b)

4) Gdy $y=\lg(\operatorname {tg} x),\;(0<x<{\tfrac {\pi }{2}}),$ to

$y^{'}={\frac {2M}{\sin 2x}}\quad {}$ i ${}\quad \Delta _{x}=1{,}15\sin 2x\Delta _{y}\;\mathrm {rad} .$

(c)

2. Funkcja wykładnicza Jeżeli $y=e^{x},$ to wtedy $y^{'}=e^{x}$ i ${}\quad \Delta _{x}={\frac {\Delta _{y}}{e^{x}}}\quad lub\quad \Delta _{x}={\frac {\Delta _{y}}{y}}.$

Przykład:

1) Z jaką dokładnością można określić liczbę $x\approx 5000$ (będącą pierwiastkiem równania $\lg(x)=3{,}6990),$ posługując się czterocyfrową tablicą logarytmów dziesiętnych?

Na podstawie wzoru (a) otrzymuje się

$\Delta _{x}=2{,}30\cdot 5000\cdot {\frac {1}{2}}10^{-4}\approx 0{,}6.$

2) Oszacować błąd w określeniu kąta $x\approx 60^{\circ }$

a) na podstawie pięciocyfrowej tablicy logarytmów funkcji $\sin x$ i wzoru (b):

${}\quad \Delta _{x}=2{,}30\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot 10^{-5}\,\mathrm {rad} =0{,}00002\,\mathrm {rad} \approx 4^{''};$

b) na podstawie pięciocyfrowej tablicy logarytmów tangensów i wzoru (c):

${}\quad \Delta _{x}=1{,}15\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot 10^{-5}\,\mathrm {rad} =0{,}000005\,\mathrm {rad} \approx 1^{''}.$