Ciąg Mayera-Vietorisa
W topologii algebraicznej ciąg Mayera-Vietorisa – ciąg dokładny wiążący ze sobą grupy homologii singularnej dwu przestrzeni, ich sumy oraz części wspólnej. Ciąg Mayera-Vietorisa jest narzędziem pozwalającym m.in. obliczać grupy homologii przestrzeni będących sumą innych przestrzeni, których grupy homologii znamy.
Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie przestrzenią topologiczną taką, że oraz wnętrza i pokrywają Można wtedy utworzyć następujący ciąg dokładny:
gdzie i: A∩B ↪ A, j: A∩B ↪ B, k: A ↪ X, and l: B ↪ X są włożeniami a oznacza sumę prostą grup abelowych.
Homologia zredukowana[edytuj | edytuj kod]
Analogiczne twierdzenie zachodzi dla zredukowanych grup homologii pod warunkiem że przecięcie jest niepuste.
Podstawowe zastosowania[edytuj | edytuj kod]
n-sfera[edytuj | edytuj kod]
Niech i niech będą dowolnymi podzbiorami homeomorficznymi z takimi, że część wspólna jest homotopijnie równoważna (np. ), gdzie oraz Wtedy oraz mają trywialne zredukowane grupy homologii, dodatkowo przekrój jest homotopijnie równoważny z W takim razie nietrywialna część ciągu Meyersa-Vietorisa daje:
Z dokładności ciągu natychmiast otrzymujemy, że ∂* jest izomorfizmem grup przy użyciu indukcji matematycznej i znajomości zredukowanej homologii S0 pozwala obliczyć:
Butelka Kleina[edytuj | edytuj kod]
Bardziej zaawansowanym przykładem zastosowania ciągu Mayeraa-Vietorisa jest wyznaczenie grup homologii butelki Kleina Można rozbić butelkę Kleina na dwa podzbiory homeomorficzne ze wstęgą Möbiusa, a w takim razie homotopijnie równoważne okręgowi. Okazuje się, że także ich część wspólna jest homotopijnie równoważna okręgowi. W takim razie nietrywialna część ciągu Mayera-Vietorisa daje:
Trywialna część ciągu pokazuje trywialne homologie dla wymiarów wyższych niż 2. Mapa (dla zwyczajnych baz pętli na wstęgach Möbiusa) wysyła 1 do (2, −2) (okrąg będący krawędzią wstęgi zawija się dwukrotnie dookoła wstęgi). W takim razie jest iniekcją co wymusza Finalnie, wybierając (1, 0) i (1, −1) jako bazę Z2, otrzymujemy:
Bukiet dwóch przestrzeni[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie bukietem dwóch przestrzeni oraz oraz że punkt bazowy bukietu jest retraktem otwartych otoczeń leżących odpowiednio w oraz Przyjmując oraz (patrz rysunek) mamy Przestrzeń jest ściągalna.
Wówczas otrzymujemy:
dla wszystkich Wynik ten jest ogólniejszą wersją twierdzenia Seiferta-van Kampena (a dla jest abelianizacją tego twierdzenia). W szczególnym przypadku dwóch sfer, korzystając z homologii sfer, otrzymujemy:
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- R. Duda: Wprowadzenie do topologii. Część II. Topologia algebraiczna. PWN, 1986.
- Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002. ISBN 978-0-521-79540-1.
- E.H. Spanier: Topologia algebraiczna. PWN, 1972.