Czterogradient

Czterogradient (lub 4-gradient) $\mathbf {\partial }$ – operator czterowektorowektorowy definiowany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest odpowiednikiem operatora wektorowego nabla $\mathbf {\nabla }$ definiowanego w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Przyjmując sygnaturę metryki $({+}{-}{-}{-})$ czasoprzestrzeni, czterogradient można wyrazić za pomocą jego składowych:

a) składowe kowariantne (dolne) 4-gradientu

$\partial _{\mu }\equiv {}_{,\mu }\equiv {\dfrac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},{\vec {\nabla }}\right),$

b) składowe kontrawariantne (górne) 4-gradientu

$\partial ^{\mu }\equiv {}^{,\mu }\equiv {\dfrac {\partial }{\partial x_{\mu }}}=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial _{0},-{\vec {\nabla }}\right),$

przy czym:

• $\partial _{0}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\;\partial _{1}\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}$ itd. – pochodne cząstkowe względem współrzędnych kontrawariantnych $x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}$ 4-wektora położenia $x^{\mu }$
• $\partial ^{0}\equiv {\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\;\partial ^{1}\equiv {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}$ itd. – pochodne cząstkowe względem współrzędnych kowariantnych $x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}$ 4-wektora położenia $x_{\mu }$

Czterogradient jest używany np. w równaniach szczególnej teorii względności, mechaniki kwantowej czy kwantowej teorii pola. Iloczyn skalarny czterogradientu daje operator d’Alamberta.

Oznaczenia

STW oraz OTW oznaczają skróty od szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności.

$(c)$ oznacza prędkość światła w próżni.

$\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]$ – tensor metryczny w płaskiej czasoprzestrzeni.

Jest kilka sposobów zapisu 4-wektorów:

(1) $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B}$ – pogrubiona czcionka i duże litery oznacza 4-wektory, małe litery dotyczą wektorów o 3 współrzędnych ${\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}.$

(2) $A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }$ styl Ricciego, używający notacji tensorowej – użyteczny, gdy w wyrażeniach mamy tensory o większej liczbie indeksów; np. $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }.$

Indeks oznaczany literą łacińską przebiega zakres {1, 2, 3} i służy do zapisu wektorów 3-wymiarowych, np. $A^{i}=(a^{1},a^{2},a^{3})={\vec {\mathbf {a} }}.$

Indeks oznaczany literą grecką przebiega zakres {0, 1, 2, 3} i służy do zapisu wektorów 3-wymiarowych, np. $A^{\mu }=(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3})=\mathbf {A} .$

W STW typowo używa się mieszanych zapisów, np. $\mathbf {A} =(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}),$ gdzie $a^{0}$ jest współrzędną czasową, ${\vec {\mathbf {a} }}$ przestawia współrzędne przestrzenne.

Zwięzłe, równoważne zapisy (por. konwencja sumacyjna Einsteina):

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}.$

Definicja

(1) Składowe 4-gradientu kowariantne

${\dfrac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }.$

Przecinek w ostatnim wyrażeniu ${}_{,\mu }$ oznacza różniczkowanie względem współrzędnych przestrzennych 4-wektora położenia $x^{\mu }.$

(2) Składowe 4-gradientu kontrawariantne

$\mathbf {\partial } =\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right).$

Alternatywne symbole do $\partial _{\alpha }$ to: $\Box$ oraz D (choć $\Box$ może też oznaczać $\partial ^{\mu }\partial _{\mu },$ tj. operator d’Alemberta).

(3) W OTW używa się niediagonalnego tensora metrycznego $g^{\alpha \beta }$ oraz wprowadza się pojęcie pochodnej kowariantnej $\nabla _{\mu }={}_{;\mu },$ (nie należy mylić jej z wektorem 3-wymiarowym ${\vec {\nabla }}$).

Pochodna kowariantna $\nabla _{\nu }$ zawiera 4-gradient $\partial _{\nu }$ oraz symbole Christoffela $\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }.$

Ogólna zasada względności OTW powoduje, iż:

Prawa fizyki w OTW w zakrzywionej czasoprzestrzeni wyrażone za pomocą wielkości tensorowych muszą mieć taką samą formę jak w STW, przy czym pochodne zwyczajne zamieniają się na pochodne kowariantne (tzw. reguła przecinek → średnik; szczegółowo omawia to artykuł pochodna kowariantna).

a) Np. prawo w STW

$T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0$

przechodzi w OTW w prawo:

$T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0.$

b) Podobnie, dla tensora (1,0) prawo w STW:

$\nabla _{\beta }V^{\alpha }=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }$

przechodzi w OTW w prawo:

$V^{\alpha }{}_{;\beta }=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }.$

c) Dla tensora (2,0) prawo w STW:

$\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }$

przechodzi w OTW w prawo:

$T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }.$

Zobacz też

1. Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego

• operator d’Alemberta

2. Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

• dywergencja
• gradient
• operator Laplace’a
• operator nabla
• operator nabla w różnych układach współrzędnych
• rotacja

Bibliografia

• David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, 2017.