Oddziaływanie kolektywne modów polaryzacjiładunku ze wzbudzeniami próżni, fotonami prowadzi do zaburzenia liniowej relacji dyspersji fotonów oraz stałej dyspersji fal ładunku poprzez uniknięcie przecięcia między dwiema liniami dyspersji polarytonów[1]. Podobnie do fononów akustycznych i optycznych daleko od rezonansu jedna gałąź dyspersji zachowuje się jak fotony a druga jak fale ładunku. Matematycznie dielektryk Hopfielda dla jednego modu wzbudzeń jest równoważny paczce Trojanskiej w przybliżeniu harmonicznym. Model Hopielda dielektryka przewiduje istnienie wiecznie związanych fotonów podobnych do promieniowania Hawkinga wewnątrz materii o gęstości proporcjonalnej do siły sprzężenia pomiędzy polem i materią.
Hamiltonian skwantowanego dielektryka Lorentza składającego się z oscylatorów harmonicznych oddziałujących z kwantowym polem elektromagnetycznym może być zapisany w przybliżeniu dipolowym jako:
gdzie:
jest operatorem pola elektrycznego działającym w punkcie położenia
Zakładając, że oscylatory położone są na węzłach jakiejś regularnej sieci krystalicznej ciała stałego i stosując polarytonową transformatę Fouriera
oraz definiując rzuty fal ładunku oscylatorów na kierunki polaryzacji pola elektromagnetycznego
po pominięciu wkładów podłużnych nie oddziałujących z polem elektromagnetycznym możemy uzyskać Hamiltonian Hopfielda
Ponieważ oddziaływanie nie miesza polaryzacji ten może być przekształcony do postaci normalnej z częstościami własnymi gałęzi polarytonowych
z równaniem własnym
gdzie:
z
(dyspersja fotonów w próżni)
i
jest bezwymiarową stałą sprzężenia proporcjonalną do gęstości (ilości oscylatorów na jednostkę objętości) dielektryka z częstością Lorentza (dyspersja fal ładunku w przybliżeniu ciasnego wiązania). Można zauważyć, że w odróżnieniu od próżni pola elektromagnetycznego bez materii wartość oczekiwana średniej liczby fotonów jest różna od zera w stanie podstawowym Hamlitoniamu polarytonowego podobnie do promieniowania Hawkinga w pobliżu czarnej dziury z powodu efektu Unruha-Daviesa. Można z łatwością zauważyć, że mniejsza częstość staje się urojona, kiedy stała sprzężenia przekracza wartość krytyczna co sugeruje, że dielektryk Hopfielda ulega nadpromienistej przemianie fazowej.
↑J.JJ.J.HopfieldJ.JJ.J., Theory of the Contribution of Excitons to the Complex Dielectric Constant of Crystals, wyd. 5, t. 112, Physical Review, 1958, s. 1555–1567, DOI: 10.1103/PhysRev.112.1555, Bibcode: 1958PhRv..112.1555H.