Fala kulombowska
Fala kulombowska, kulombowska funkcja falowa – matematyczne rozwiązanie równania falowego Coulomba, używane w mechanice kwantowej do opisu elektrycznie naładowanych cząstek poruszających się w obszarze potencjału kulombowskiego. Jej nazwa pochodzi od Charlesa Coulomba, twórcy prawa Coulomba. Ogólna postać fali kulombowskiej może być zapisana przy pomocy funkcji specjalnych.
Równanie falowe Coulomba[edytuj | edytuj kod]
Równaniem falowym Coulomba nazywane jest równanie Schrödingera niezależne od czasu opisujące naładowaną cząstkę w obszarze potencjału kulombowskiego wytwarzanego przez ładunek punktowy[1]
gdzie:
- i – ładunki poruszającej się cząstki oraz źródła potencjału,
- – wektor falowy cząstki,
- – stała struktury subtelnej,
- – prędkość światła.
Wyrażenie opisuje energię cząstki i jest tożsame z wyrażeniem na energię cząstki swobodnej, ponieważ równanie falowe Coulomba opisuje stan niezwiązany kulombowsko.
Równanie to można rozwiązać przechodząc do współrzędnych eliptycznych, w których
Jego rozwiązanie zależy od zastosowanych warunków brzegowych. Stosując warunki brzegowe, przy których dla dostatecznie dużych odległości pomiędzy cząstką a źródłem potencjału funkcja falowa cząstki ma asymptotykę fali płaskiej
otrzymuje się dwa rozwiązania[2][3]
gdzie:
- – funkcja gamma,
- – funkcja Whittakera (konfluentna funkcja hipergeometryczna pierwszego rodzaju),
Dwa możliwe znaki opisują stany cząstki odpowiednio zbliżającej się lub oddalającej się od źródła pola; rozwiązania te są ze sobą związane relacją
Rozkład na fale parcjalne[edytuj | edytuj kod]
Fala kulombowska może być przedstawiona w postaci rozwinięcia na harmoniki sferyczne przemnożone przez odpowiadające im funkcje radialne (zależne wyłącznie od odległości)
podobnie jak ma się to w przypadku rozwinięcia na harmoniki sferyczne fali płaskiej (rolę funkcji radialnych spełniają w tym przypadku sferyczne funkcje Bessela)[4].
Wyrażenie na poszczególną falę parcjalną można otrzymać poprzez iloczyn skalarny fali kulombowskiej i harmoniki sferycznej odpowiadającej danej składowej
Poszczególne fale parcjalne można także uzyskać poprzez rozwiązanie zmodyfikowanego równania falowego Coulomba, w którym laplasjan zapisano we współrzędnych sferycznych, a całe równanie wyrzutowano na moment pędu odpowiadający danej harmonice sferycznej
gdzie Rozwiązania tego równania noszą także nazwę sferycznych funkcji kulombowskich[5].
Własności fal kulombowskich[edytuj | edytuj kod]
Ponieważ fale kulombowskie opisują stany należące do spektrum ciągłego hamiltonianu (wektor falowy może przyjmować dowolną wartość), nie są całkowalne w kwadracie, a więc i normalizowalne. Ortonormalne są jednak ich składowe radialne odpowiadające temu samemu momentowi pędu. Funkcje zdefiniowane w poprzednim rozdziale są ortonormalne w postaci[6]
W przypadku atomów i molekuł, fale kulombowskie stanowią wektory własne hamiltonianu (atomowego lub molekularnego) z dodatnimi wartościami własnymi (wartościami energii). Z tego powodu są ortogonalne do wszystkich stanów związanych[7]
W przypadku atomu wodoru stany związane (orbitale) i niezwiązane kulombowsko tworzą razem bazę zupełną w przestrzeni Hilberta[8].
Zastosowanie fal kulombowskich[edytuj | edytuj kod]
Fale kulombowskie zostały wprowadzone latach 30. XX wieku do opisu rozpraszania naładowanych cząstek pod wpływem odpychania kulombowskiego[9]. Znajdują zastosowane w fizyce atomowej i chemii kwantowej, m.in. w opisie procesów fotojonizacji[10] i generacji wyższych harmonik[11] przez atomy i molekuły w silnych polach laserowych.
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Gordon W.F. Drake , Springer handbook of atomic, molecular, and optical physics, New York: Springer, 2006, ISBN 978-0-387-26308-3, OCLC 262691448 [dostęp 2019-11-13] .
- ↑ E.M. Lifshit︠s︡ (Evgeniĭ Mikhaĭlovich) , J.B. Sykes , J.S. Bell , Quantum mechanics. Non-relativistic theory, wyd. 3d ed., rev. and enl, Amsterdam: Butterworth Heinemann, 1977, ISBN 978-0-08-050348-6, OCLC 846962062 [dostęp 2019-11-13] .
- ↑ I.V. Teplov , M.K. Akimova , Tables of coulomb wave functions (Whittaker functions), Oxford: Pergamon Press, 1965, ISBN 978-1-4831-5501-2, OCLC 681871601 [dostęp 2019-11-13] .
- ↑ David Gaspard , Connection formulas between Coulomb wave functions, „Journal of Mathematical Physics”, 59 (11), 2018, s. 112104, DOI: 10.1063/1.5054368, ISSN 0022-2488 [dostęp 2019-11-13] .
- ↑ Messiah, Albert, 1921-2013., Quantum mechanics, Dover Publ, 2014, ISBN 0-486-78455-X, OCLC 931594080 [dostęp 2019-11-13] .
- ↑ Louis C. Green , Satoshi Matsushima , Eleanor K. Kolchin , Tables of the Continuum Wave Functions for Hydrogen., „The Astrophysical Journal Supplement Series”, 3, 1958, s. 459, DOI: 10.1086/190041, ISSN 0067-0049 [dostęp 2019-11-13] .
- ↑ Landau, L.D. (Lev Davidovich) , 1908-1968., Quantum mechanics. Non-relativistic theory, 1991, ISBN 0-08-029140-6, OCLC 977966140 [dostęp 2019-11-13] .
- ↑ Leslie E. Ballentine , Quantum mechanics. A modern development, ISBN 978-981-4578-57-8, OCLC 904583084 [dostęp 2019-11-13] .
- ↑ F.L. Yost , John A. Wheeler , G. Breit , Coulomb Wave Functions in Repulsive Fields, „Physical Review”, 49 (2), 1936, s. 174–189, DOI: 10.1103/physrev.49.174, ISSN 0031-899X [dostęp 2019-11-13] .
- ↑ Samer Gozem i inni, Photoelectron Wave Function in Photoionization: Plane Wave or Coulomb Wave?, „The Journal of Physical Chemistry Letters”, 6 (22), 2015, s. 4532–4540, DOI: 10.1021/acs.jpclett.5b01891, ISSN 1948-7185 [dostęp 2019-11-13] .
- ↑ M.F. Ciappina , C.C. Chirilă , M. Lein , Influence of Coulomb continuum wave functions in the description of high-order harmonic generation withH2+, „Physical Review A”, 75 (4), 2007, DOI: 10.1103/physreva.75.043405, ISSN 1050-2947 [dostęp 2019-11-13] .