Funkcja o wahaniu ograniczonym
Funkcja o wahaniu ograniczonym – w analizie matematycznej jest to funkcja, której zmienność jest, nieformalnie mówiąc, skończona, czyli funkcja nie oscyluje bez ograniczenia.
Przestrzeń wszystkich funkcji określonych na obszarze o wahaniu ograniczonym jest oznaczana przez
Pojęcie pochodzi od Camille’a Jordana[1][2].
Funkcje zmiennej rzeczywistej[edytuj | edytuj kod]
Definicja[edytuj | edytuj kod]
Całkowite wahanie dla funkcji rzeczywistej definiujemy jako odpowiednie supremum:
które jest brane po wszystkich możliwych rozbiciach przedziału Jeśli wahanie funkcji jest skończone, to powiemy, że jest to funkcja o wahaniu ograniczonym. W przeciwnym wypadku nazwiemy funkcją o wahaniu nieograniczonym[2].
Przykład[edytuj | edytuj kod]
Prostym przykładem funkcji o wahaniu nieograniczonym jest funkcja dana wzorem dla oraz (jej wykresem jest sinusoida zagęszczona). Przy malejącym do zera iloraz rośnie coraz szybciej w kierunku nieskończoności, więc sinus dla tego argumentu przejdzie przez nieskończoną liczbę oscylacji, co oznacza nieskończoną liczbę przejść od do i z powrotem do Pokazuje to obrazek po prawej stronie.
To, że przykładowa funkcja ma wahanie nieograniczone, uzasadnia się wprost z definicji, wystarczy bowiem wziąć ciąg rozbić i wtedy kolejne sumy
są równe co też, z racji możliwości wzięcia dowolnie dużego daje nieograniczoność wahania funkcji
Powyższa definicja może być również łatwo rozszerzona do opisu wahania funkcji zespolonych o argumentach rzeczywistych.
Funkcje wielu zmiennych[edytuj | edytuj kod]
W przypadku funkcji wielu zmiennych, funkcjami o wahaniu ograniczonym nazywamy te funkcje, których pochodnymi w sensie dystrybucyjnymi są skończone miary Radona o wartościach wektorowych.
Definicja[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie otwartym podzbiorem Funkcję nazwiemy funkcją o wahaniu ograniczonym, jeśli jej pochodna w sensie dystrybucji jest skończoną wektorową miarą Radona, czyli istnieje takie, że
Związek z krzywymi prostowalnymi[edytuj | edytuj kod]
Funkcja ciągła może być rozumiana jako droga w przestrzeni metrycznej Wówczas jest funkcją o wahaniu ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy jest krzywą prostowalną, czyli ma skończoną długość.
Związek z teorią miary[edytuj | edytuj kod]
W teorii miary, funkcje o wartościach rzeczywistych lub zespolonych o wahaniu ograniczonym są w istocie dystrybuantami miar borelowskich odpowiednio ze znakiem lub zespolonych, to jest funkcjami danymi wzorem:
dla ustalonej miary [2].
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Wyd. 5. Berlin: Springer, 2007. ISBN 978-3-540-49977-0.
- Gerald Teschl: Topics in Real and Functional Analysis. 2011.
- Luigi Ambrosio, Nicola Fusco, Diego Pallara: Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems. Oxford: 2000.