Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Funkcja theta Ramanujana – uogólnia postać funkcji theta Jacobiego , przy zachowaniu ich ogólnych własności. Przy zapisie zgodnym z funkcją theta Ramanujana iloczyn mieszany Jacobiego przybiera najbardziej przejrzystą formę. Funkcja została nazwana na cześć jej twórcy, hinduskiego matematyka samouka Srinivasy Ramanujana .
Funkcję można opisać wzorem:
f
(
a
,
b
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
a
n
(
n
+
1
)
/
2
b
n
(
n
−
1
)
/
2
{\displaystyle f(a,b)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n(n+1)/2}\;b^{n(n-1)/2}}
dla
|
a
b
|
<
1.
{\displaystyle |ab|<1.}
iloczynu mieszanego Jacobiego przybiera postać
f
(
a
,
b
)
=
(
−
a
;
a
b
)
∞
(
−
b
;
a
b
)
∞
(
a
b
;
a
b
)
∞
.
{\displaystyle f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.}
Wyrażenie
(
a
;
q
)
n
{\displaystyle (a;q)_{n}}
symbol q-Pochhammera . Wynikają z tego tożsamości:
f
(
q
,
q
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
q
n
2
=
(
−
q
;
q
2
)
∞
(
q
2
;
q
2
)
∞
(
−
q
2
;
q
2
)
∞
(
q
;
q
2
)
∞
{\displaystyle f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {(-q;q^{2})_{\infty }(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(-q^{2};q^{2})_{\infty }(q;q^{2})_{\infty }}}}
oraz
f
(
q
,
q
3
)
=
∑
n
=
0
∞
q
n
(
n
+
1
)
/
2
=
(
q
2
;
q
2
)
∞
(
q
;
q
2
)
∞
{\displaystyle f(q,q^{3})=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)/2}={\frac {(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(q;q^{2})_{\infty }}}}
oraz
f
(
−
q
,
−
q
2
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
q
n
(
3
n
−
1
)
/
2
=
(
q
;
q
)
∞
{\displaystyle f(-q,-q^{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}=(q;q)_{\infty }}
Ostatnia z nich, będąc funkcją Eulera (nie mylić z funkcją φ ) jest ściśle związana z funkcją modularną Dedekinda .
Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Ramanujan Theta Functions , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) .
