Kryterium Bertranda

Kryterium Bertranda – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

(A)

o wyrazach dodatnich. Niech

$B_{n}={\bigg (}n\cdot {\Big (}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1{\Big )}-1{\bigg )}\cdot \ln n.$

Wówczas

• szereg (A) jest zbieżny, gdy

$\liminf _{n\to \infty }B_{n}>1;$

• szereg (A) jest rozbieżny, gdy

$\limsup _{n\to \infty }B_{n}<1$.

Wersja graniczna kryterium

Kryterium Bertranda można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg $(B_{n})$ jest zbieżny do pewnego $B,$ to

• szereg (A) jest zbieżny, gdy $B>1,$ oraz
• szereg (A) jest rozbieżny, gdy $B<1.$

W przypadku, gdy $B=0$ kryterium nie rozstrzyga.

Dowód w oparciu o kryterium Kummera

Niech

$c_{n}=n\cdot \ln n\quad (n\in \mathbb {N} ).$

Ponieważ szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln n}}$

jest rozbieżny (co wynika z zastosowania kryterium całkowego), kryterium Kummera się stosuje. W tym wypadku

${\begin{aligned}K_{n}&=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}=n\cdot \ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln(n+1)\\&=n\cdot \ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n\ln(n+1)-\ln(n+1)\\&=n\cdot \ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n\left(\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)+\ln n\right)-\left(\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)+\ln n\right)\\&=n\cdot \ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-n\ln n-\ln n\\&=\ln n\cdot \left(n{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n-1\right)-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\\&=\ln n\cdot \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\\&=B_{n}-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}.\end{aligned}}$

Ponieważ

$\lim _{n\to \infty }\ln {\Big (}1+{\tfrac {1}{n}}{\Big )}^{n+1}=1,$

teza kryterium Bertranda wynika wprost z zastosowania kryterium Kummera.

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
• Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.