Krzywa drugiego stopnia

Krzywa drugiego stopnia – krzywa dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne $x,\ y,{:}$

$a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$

gdzie:

$a_{11},a_{22},a_{12},a_{13},a_{23},a_{33}\in \mathbb {R} ,$

przy czym przynajmniej jeden ze współczynników $a_{11},a_{22},a_{12}$ musi być różny od zera.

W zależności od wartości współczynników $a_{ij}$ krzywa może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.

Każda krzywa drugiego stopnia jest pewną krzywą stożkową.

Niezmienniki

Dla krzywej danej równaniem 2 stopnia poszczególne współczynniki $a_{ij}$ zmieniają się przy zmianie układu współrzędnych. Jednak pewne wielkości zwane niezmiennikami są niezależne od wyboru ortonormalnego układu współrzędnych:

$\Delta =\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{matrix}}\right|$

$\delta =\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{matrix}}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}^{2}$

$S=a_{11}+a_{22}$

Klasyfikacja krzywych 2 stopnia

W oparciu o znaki niezmienników można przeprowadzić klasyfikację krzywych:

Wartości Δ, δ i S			krzywa	postać kanoniczna	uwagi
Krzywe środkowe δ≠0	δ>0	Δ•S<0	elipsa rzeczywista	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	dla $a=\pm b$ elipsa jest okręgiem
		Δ•S>0	elipsa urojona	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$
		Δ=0	para prostych urojonych z jednym punktem rzeczywistym	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0$
	δ<0	Δ≠0	hiperbola	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
		Δ=0	para prostych przecinających się	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0$
Krzywe paraboliczne δ=0 S≠0	Δ≠0		parabola	$x^{2}+2py=0$
	Δ=0	$a_{13}^{2}-a_{11}a_{33}>0$	para prostych równoległych	$x^{2}=a^{2}$	równoważnie można badać znak wyrażenia $a_{23}^{2}-a_{22}a_{33}$
		$a_{13}^{2}-a_{11}a_{33}=0$	para prostych pokrywających się	$x^{2}=0$
		$a_{13}^{2}-a_{11}a_{33}<0$	para prostych urojonych	$x^{2}=-a^{2}$

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 299–301.
• Marceli Stark: Geometria analityczna ze wstępem do geometrii wielowymiarowej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1972, s. 177–184.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Quadratic Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].