Metoda Sheparda

Metoda Sheparda – sposób aproksymacji wielowymiarowej dla rozproszonych zbiorów znanych punktów aproksymacyjnych.

Ogólna postać metody Sheparda dla znalezienia wartości aproksymowanej $u$ dla danego punktu $\mathbf {x}$ ma formę funkcji:

$u(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=0}^{N}{w_{k}(\mathbf {x} )u_{k}}}{\sum _{k=0}^{N}{w_{k}(\mathbf {x} )}}},$

gdzie:

$w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{p}}}$ – współczynnik wagowy wprowadzony przez Sheparda,

$\mathbf {x}$ – dowolny punkt aproksymowany,

$\mathbf {x} _{k}$ – znany punkt aproksymacyjny,

$d$ – określony operatorem metryki,

$N$ – całkowita liczba punktów aproksymacyjnych,

$p$ – parametr.

W tym przypadku wartość współczynnika wagowego zmniejsza się wraz ze wzrostem odległości pomiędzy punktem aproksymowanym $\mathbf {x}$ a punktem aproksymującym $\mathbf {x} _{k}.$ Dla $0<p<1$ $u(\mathbf {x} )$ ma ostre wierzchołki nad punktami aproksymującymi, a dla $p>1$ jest gładka. Najczęściej przyjmuje się $p=2.$

Metoda Sheparda wynika z minimalizacji funkcjonału określającego miarę odchyłek pomiędzy punktem aproksymowanym i odpowiadającą mu wartością aproksymowaną a krotkami punktów aproksymacyjnych $\{\mathbf {x} _{k},$ $u_{k}\},$ zdefiniowanego jako:

$\phi (\mathbf {x} ,u)=\left(\sum _{k=0}^{N}{\frac {(u-u_{k})^{2}}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{p}}}\right)^{\frac {1}{p}}$

oraz warunku minimalizacji:

${\frac {\partial \phi (\mathbf {x} ,u)}{\partial u}}=0.$

Modyfikacja Liszki

Modyfikacja metody Sheparda została zaproponowana w pracy Liszki w zastosowaniach do zagadnień aproksymacyjnych mechaniki doświadczalnej. Zaproponowano tu nowy współczynnik wagowy:

$w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{(d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{2}+\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}}},$

gdzie $\varepsilon$ dobiera się w zależności od błędu pomiaru punktów aproksymacyjnych.