Metoda momentów

Metoda momentów (MM) – w statystyce, metoda estymacji parametrów populacji polegająca na wyznaczaniu równań wiążących momenty populacji z parametrami, które mają być estymowane.

Opis metody

Niech dana będzie próba

$\{x_{t}:t=0,\dots ,T\},$

która posłużyć mu do wyznaczenia wektora parametrów $\theta$ (macierzy $p\times 1$) o wartości prawdziwej $\theta _{0}.$ Niech

$f(x_{t},\theta )\quad (t=0,\dots ,T)$

będzie ciągłą funkcją parametru $\theta$ o wartościach będących wektorami $q\times 1.$ Załóżmy, że wartości oczekiwane ${\mathsf {E}}f(x_{t},\theta )$ istnieją i są skończone dla wszelkich $t.$ Równania

${\mathsf {E}}f(x_{t},\theta )=0\quad (t=0,\dots ,T)$

nazywane są warunkami momentów. W przypadku gdy $q=p$ warunki momentów są układem $p$ równań o $p$ niewiadomych. Funkcja

$f_{T}(\theta )={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}f(x_{t},\theta )$

jest estymatorem MM wartości oczekiwanych ${\mathsf {E}}f(x_{t},\theta ).$

Rozwiązanie równania $f_{T}(\theta )=0,$ ${\hat {\theta }},$ estymuje prawdziwą wartość $\theta _{0}$.

Przykłady warunków momentów

Regresja liniowa

Niech dany będzie model regresji liniowej

$y_{t}=x_{t}'\beta _{0}+u_{t},$

gdzie $x_{t}$ jest wektorem $p\times 1$ regresorów, $\beta _{0}$ jest wartością prawdziwą estymowanych parametrów (wektorów $p\times 1$) $\beta$ oraz $u_{t}$ jest błędem statystycznym. Pod założeniem

${\mathsf {E}}(u_{t}|x_{t})=0,$

zachodzi związek

${\mathsf {E}}(y_{t}|x_{t})=x_{t}'\beta _{0}.$

Z prawa iterowanych oczekiwań wynika, że

${\mathsf {E}}(x_{t}u_{t})={\mathsf {E}}({\mathsf {E}}(x_{t}u_{t}|x_{t}))={\mathsf {E}}(x_{t}E(u_{t}|x_{t}))=0.$

Równania

${\mathsf {E}}(x_{t}u_{t})={\mathsf {E}}(x_{t}(y_{t}-x_{t}'\beta _{0}))=0,$

są szukanymi warunkami momentów. (W oryginalnej definicji można przyjąć $\theta =\beta$ oraz $f((x_{t},y_{t}),\theta )=x_{t}(y_{t}-x_{t}'\beta _{0})$).

Populacja o rozkładzie gamma

Niech dana będzie próba

$\{x_{t}:t=0,\dots ,T\}$

populacji o rozkładzie gamma z parametrami $p^{*},q^{*}$ z wartościami prawdziwymi $p_{0}^{*},q_{0}^{*}.$ W szczególności,

${\mathsf {E}}x_{t}={\frac {p_{0}^{*}}{q_{0}^{*}}}$

oraz

${\mathsf {E}}(x_{t}-{\mathsf {E}}x_{t})^{2}={\frac {p_{0}^{*}}{(q_{0}^{*})^{2}}}.$

Przyjmując $\theta =(p^{*},q^{*})'$ oraz

$f_{t}(x_{t},\theta )={\Big (}x_{t}-{\frac {p^{*}}{q^{*}}},(x_{t}-{\frac {p^{*}}{q^{*}}})^{2}-{\frac {p^{*}}{(q^{*})^{2}}}{\Big )}'$

równania ${\mathsf {E}}(f(x_{t},\theta ))=0$ są szukanymi warunkami momentów. Wówczas warunek $f_{T}({\hat {\theta }})=0$ implikuje

${\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}x_{t}-{\frac {\widehat {p^{*}}}{\widehat {q^{*}}}}=0$

oraz

${\frac {1}{T}}(x_{t}-{\frac {\widehat {p^{*}}}{\widehat {q^{*}}}})^{2}-{\frac {\widehat {p^{*}}}{{\widehat {q^{*}}}^{2}}}=0$.

Wówczas przy pomocy średniej próby

${\overline {x}}_{T}={\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}x_{t}$

oraz średniego odchylenia próby

${\overline {s}}_{T}^{2}=\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\overline {x}}_{T})^{2}$

można zapisać

${\widehat {q^{*}}}={\frac {{\overline {x}}_{T}}{{\overline {s}}_{T}^{2}}},\;{\widehat {p^{*}}}={\frac {{\overline {x}}_{T}^{2}}{{\overline {s}}_{T}^{2}}}$.

Bibliografia

• L. Mátyás, Generalized Method of Moments Estimation. Themes in Modern Econometrics, Cambridge University Press. Cambridge, 1999.