Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Nierówność Paleya-Zygmunda dostarcza oszacowania w terminach wartości oczekiwanej i wariancji na wielkość prawdopodobieństwa, że nieujemna zmienna losowa o skończonej wariancji jest mała. Nierówność ta została udowodniona przez Raymonda Paleya i Antoniego Zygmunda.
Niech
będzie nieujemną zmienną losową o skończonej wariancji i niech
Wówczas prawdziwa jest nierówność
![{\displaystyle \mathbb {P} (Z\geqslant \lambda \mathbb {E} Z)\geqslant (1-\lambda )^{2}{\frac {(\mathbb {E} Z)^{2}}{\mathbb {E} Z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444bd9c8d65cbe0b12d6222ab818882eef4b11e3)
Korzystając z nierówności Höldera, dostajemy
A zatem
Podnosząc obie strony nierówności do kwadratu, dostajemy tezę.