Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Operator sprzężony – dla danego operatora liniowego i ograniczonego
T
:
E
→
F
,
{\displaystyle T\colon E\to F,}
działającego między przestrzeniami Banacha
E
{\displaystyle E}
i
F
,
{\displaystyle F,}
operator liniowy
T
∗
:
F
∗
→
E
∗
{\displaystyle T^{*}\colon F^{*}\to E^{*}}
dany wzorem
T
∗
f
=
f
∘
T
(
f
∈
F
∗
)
,
{\displaystyle T^{*}f=f\circ T\;\;\;(f\in F^{*}),}
tj. operator spełniający warunek
⟨
T
∗
f
,
x
⟩
=
⟨
f
,
T
x
⟩
(
x
∈
E
,
f
∈
F
∗
)
{\displaystyle \langle T^{*}f,x\rangle =\langle f,Tx\rangle \quad (x\in E,f\in F^{*})}
(symbol
E
∗
{\displaystyle E^{*}}
oznacza przestrzeń sprzężoną do
E
,
{\displaystyle E,}
a symbol
⟨
f
,
x
⟩
{\displaystyle \langle f,x\rangle }
oznacza wartość funkcjonału
f
{\displaystyle f}
w punkcie
x
,
{\displaystyle x,}
tj.
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
).
Operator sprzężony
T
∗
{\displaystyle T^{*}}
jest ograniczony oraz
‖
T
‖
=
‖
T
∗
‖
.
{\displaystyle \|T\|=\|T^{*}\|.}
Rzeczywiście,
‖
T
∗
f
‖
=
sup
{
⟨
T
∗
f
,
x
⟩
:
x
∈
E
,
‖
x
‖
=
1
}
=
sup
{
⟨
f
,
T
x
⟩
:
x
∈
E
,
‖
x
‖
=
1
}
⩽
sup
{
‖
f
‖
⋅
‖
T
x
‖
:
x
∈
E
,
‖
x
‖
=
1
}
=
‖
f
‖
⋅
‖
T
‖
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\|T^{*}f\|&=\sup\{\langle T^{*}f,x\rangle \colon x\in E,\|x\|=1\}\\&=\sup\{\langle f,Tx\rangle \colon x\in E,\|x\|=1\}\\&\leqslant \sup\{\|f\|\cdot \|Tx\|\colon x\in E,\|x\|=1\}\\&=\|f\|\cdot \|T\|,\end{aligned}}}
skąd
‖
T
∗
‖
⩽
‖
T
‖
.
{\displaystyle \|T^{*}\|\leqslant \|T\|.}
Niech
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
będzie elementem o normie 1. Z twierdzenia Hahna-Banacha wynika istnienie takiego elementu
f
∈
F
∗
{\displaystyle f\in F^{*}}
o normie 1, że
‖
T
x
‖
=
⟨
f
,
T
x
⟩
{\displaystyle \|Tx\|=\langle f,Tx\rangle }
a stąd
‖
T
x
‖
=
⟨
T
∗
f
,
x
⟩
⩽
‖
T
∗
f
‖
⋅
‖
x
‖
⩽
‖
T
∗
‖
.
{\displaystyle \|Tx\|=\langle T^{*}f,x\rangle \leqslant \|T^{*}f\|\cdot \|x\|\leqslant \|T^{*}\|.}
Nierówność
‖
T
‖
⩽
‖
T
∗
‖
{\displaystyle \|T\|\leqslant \|T^{*}\|}
wynika z możliwości przejścia do supremum w powyższej nierówności po wszystkich
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
o normie 1.
Jądro operatora sprzężonego jest domknięte w topologii *-słabej przestrzeni
F
∗
{\displaystyle F^{*}}
[1] . Istotnie, jeżeli
T
:
E
→
F
{\displaystyle T\colon E\to F}
jest operatorem ograniczonym oraz
(
f
i
)
{\displaystyle (f_{i})}
jest ciągiem uogólnionym w ker
T
∗
,
{\displaystyle T^{*},}
który jest zbieżny do pewnego
f
∈
F
∗
{\displaystyle f\in F^{*}}
w topologii *-słabej, to dla każdego
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
zachodzi
0
=
⟨
T
∗
f
i
,
x
⟩
=
⟨
f
i
,
T
x
⟩
→
⟨
f
,
T
x
⟩
=
⟨
T
∗
f
,
x
⟩
,
{\displaystyle 0=\langle T^{*}f_{i},x\rangle =\langle f_{i},Tx\rangle \to \langle f,Tx\rangle =\langle T^{*}f,x\rangle ,}
tj.
T
∗
f
=
0
,
{\displaystyle T^{*}f=0,}
czyli
f
∈
ker
T
∗
.
{\displaystyle f\in \ker T^{*}.}
W szczególności, każdy operator sprzężony
T
∗
:
F
∗
→
E
∗
{\displaystyle T^{*}\colon F^{*}\to E^{*}}
jest ciągły względem *-słabych topologii
F
∗
{\displaystyle F^{*}}
i
E
∗
,
{\displaystyle E^{*},}
odpowiednio.
Obraz operatora
T
{\displaystyle T}
jest gęsty w
F
{\displaystyle F}
wtedy i tylko wtedy, gdy operator
T
∗
{\displaystyle T^{*}}
jest iniektywny.
Dla danego operatora ograniczonego
T
:
E
→
F
{\displaystyle T\colon E\to F}
następujące warunki są równoważne:
obraz
T
{\displaystyle T}
jest domknięty w
F
;
{\displaystyle F;}
obraz
T
∗
{\displaystyle T^{*}}
jest domknięty w
E
∗
;
{\displaystyle E^{*};}
obraz
T
∗
{\displaystyle T^{*}}
jest domknięty w
E
∗
{\displaystyle E^{*}}
w *-słabej topologii.
Operatory sprzężone do operatorów szczególnych klas [ edytuj | edytuj kod ]
Niech
T
{\displaystyle T}
będzie operatorem ograniczonym, działającym między przestrzeniami Banacha.
Twierdzenie Schaudera : Operator
T
{\displaystyle T}
jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator
T
∗
{\displaystyle T^{*}}
jest zwarty.
Twierdzenie Gantmacher : Operator
T
{\displaystyle T}
jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator
T
∗
{\displaystyle T^{*}}
jest słabo zwarty.
Jeżeli
T
{\displaystyle T}
jest ściśle singularny , to
T
∗
{\displaystyle T^{*}}
jest ściśle kosingularny . Jeżeli
T
{\displaystyle T}
jest ściśle kosingularny, to
T
∗
{\displaystyle T^{*}}
jest ściśle singularny.
Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory . New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
Walter Rudin : Analiza funkcjonalna . Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN , 2009, s. 110–115.