Operator translacji

Operator translacji – operator liniowy określony na przestrzeni funkcji, którego działanie można określić jako przesunięcie funkcji o dany wektor.

Jeśli $f(x)$ jest funkcją z przestrzeni funkcji $V$ wówczas: $T_{a}(f)(x)=f(x-a).$

Do poprawnej definicji operatora translacji wymagane jest, by zachodziło wynikanie: jeśli $f$ należy do przestrzeni funkcji $V,$ to wówczas każda funkcja postaci $f(x-a)\in V.$

Rozpatrzmy infinitezymalną translację przestrzenną $\delta \mathbf {r} ,$ w wyniku której funkcja falowa zmieni się następująco:

$\Psi ^{'}=\Psi (\mathbf {r} +\delta \mathbf {r} )=\Psi (\mathbf {r} )+\delta \mathbf {r} {\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} )}{\partial \mathbf {r} }}=D\psi ,$

gdzie:

$D=1+\delta \mathbf {r} {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}$

jest operatorem infinitezymalnych translacji. Wiemy, że operator pędu ma postać $\mathbf {p} =-i\hbar \partial /\partial \mathbf {r} ,$ możemy zatem napisać D jako

$D=1+i\delta \mathbf {rp} /\hbar .$

Skończoną translację $\Delta \mathbf {r}$ można uzyskać jako złożenie $n$ translacji infinitezymalnych $(\Delta \mathbf {r} =n\delta \mathbf {r} )$ w granicy $n\to \infty {:}$

$D=\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {i\Delta \mathbf {rp} }{n\hbar }})^{n}=e^{i\Delta \mathbf {rp} /\hbar }.$