Pochodna Pincherlego – operator liniowy
przekształcający inny operator liniowy
określony na przestrzeni liniowej wielomianów zmiennej
z ciała
zdefiniowany wzorem
![{\displaystyle T'=[T,x]=Tx-xT=-\operatorname {ad} (x)T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dccde06bff0dcb384ae320af6a1df0053036e61b)
tak, że
dla każdego ![{\displaystyle p(x)\in K[x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d59834dac7f5a48efa6aa4ba5be45bfd1c4f7cd)
Innymi słowy, pochodna Pincherlego to komutator
z mnożeniem przez
w algebrze endomorfizmów
Pojęcie to nazwano po włoskim matematyku, Salvatore Pincherle (1853–1936).
Pochodna Pincherlego, jak każdy komutator jest różniczkowaniem, co oznacza, że spełnia prawa dodawania i mnożenia: dla danych dwóch operatorów liniowych
i
należących do
jest
![{\displaystyle (T+S)'=T'+S',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323f50964af0dd4a066f0d88a4c6ab8af6e352e4)
gdzie
jest złożeniem operatorów,
gdzie
jest zwykłym nawiasem Liego.
Zwykła pochodna,
jest operatorem wielomianowym. Policzenie wprost daje, że jego pochodna Pincherlego to
Wzór ten uogólnia się do
przez indukcję. Dowodzi to, że pochodna Pincherlego operatora różniczkowego
również jest operatorem różniczkowym, a więc pochodna Pincherlego jest różniczkowaniem
Operator przesunięcia
może być zapisany jako
ze wzoru Taylora. Wtedy jego pochodna Pincherlego to
Innymi słowy, operatory przesunięcia są wektorami własnymi pochodnej Pincherlego, którego spektrum jest cała przestrzeń skalarów
Jeżeli
jest niezmiennicze ze względu na przesunięcia, tzn. jeżeli
komutuje z
lub
to zachodzi wtedy również
a więc
również jest niezmiennicze ze względu na przesunięcia o to samo przesunięcie
„Operator delta z czasem dyskretnym”
to operator
którego pochodna Pincherlego jest operatorem przesunięcia