Podział ryzyka

Podział ryzyka – ustalenie stopnia, w jakim ubezpieczyciel w zamian za otrzymaną składkę ubezpieczeniową zobowiązuje się pokryć zaistniałe szkody objęte polisą ubezpieczeniową.

Formalne ujęcie problemu[edytuj | edytuj kod]

Zagadnienie podziału ryzyka sprowadza się do zdefiniowania funkcji $I:[0,\infty )\to [0,\infty ).$ Argumentem tej funkcji jest wysokość szkody objętej ubezpieczeniem, a wartość $I(x)$ jest interpretowana jako świadczenie wypłacone przez ubezpieczyciela. Zakłada się przy tym, że funkcja $I$ spełnia warunek $\forall _{x\in [0,\infty )}0\leqslant I(x)\leqslant x.$

W przypadku pełnego (maksymalnego) pokrycia szkody przez ubezpieczyciela funkcja $I$ jest identycznościowa $(I(x)\equiv x).$

Teoria użyteczności w podziale ryzyka[edytuj | edytuj kod]

Przyjmując pewne kryteria wynikające z teorii użyteczności możliwe jest wyznaczenie optymalnego podziału ryzyka.

Jeśli pewien decydent:

przejawia awersję do ryzyka (tzn. maksymalizuje wartość oczekiwaną funkcji użyteczności $u(x),$ takiej że $u'(x)>0$ oraz $u''(x)<0$ dla wszystkich $x$ mniejszych od początkowego majątku decydenta)
narażony jest na szkodę której wartość wyraża się zmienną losową $X$
jest skłonny przeznaczyć kwotę $P\in (0,(1+\theta )E(x)]$ na zakup ubezpieczenia

Jeśli ponadto rynek ubezpieczeniowy oferuje wszystkie możliwe kontrakty spełniające warunek $\forall _{x\in [0,\infty )}0\leqslant I(x)\leqslant x,$ to decydent osiągnie maksimum oczekiwanej użyteczności:

zakupując kontrakt:
$I_{d^{*}}={\begin{cases}0&x\leqslant d^{*}\\x-d^{*}&x>d^{*},\end{cases}}$

gdzie

d^{*}

jest rozwiązaniem równania

P=(1+\theta )\cdot E(I_{d}(X))

względem niewiadomej

d,

nie wykupując żadnego ubezpieczenia w przypadku, gdy narzut $\theta$ na składkę netto jest za duży lub awersja decydenta do ryzyka zbyt słaba.

Interpretacja i zastosowanie w praktyce[edytuj | edytuj kod]

Założenie, że podmioty kierują się maksymalizacją oczekiwanej użyteczności jest szeroko stosowane w ekonomii i nie budzi ono większych kontrowersji. W zakresie założeń odnośnie do pochodnych funkcji użyteczności (i pośrednio jej kształtu) to pierwsze z nich o dodatniości pierwszej pochodnej interpretuje się tak, że „lepiej mieć więcej niż mniej”. Drugie założenie (ujemny znak drugiej pochodnej) oznacza, że dany podmiot cechuje się awersją do ryzyka, a więc w miarę możliwości stara się ryzyka unikać. Awersja taka powszechna być nie musi, ale zakłada się, że podjęcie decyzji o wykupie ubezpieczenia jest przejawem występowania takiej właśnie awersji.

W praktyce oprócz podziału ryzyka między ubezpieczonego a ubezpieczyciela istnieje jeszcze część ryzyka związana z reasekuracją. Wtedy w przypadku szkód o dużej wartości część kwoty odszkodowania pokrywana jest przez reasekuratora.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Newton L. Bowers, Hans U. Gerber, James C. Hickman, Donald A. Jones, Cecil J. Nesbit: Actuarial mathematics. Itasca, Ill.: Society of Actuaries, 1986. ISBN 0-938959-10-7. (ang.).
Wojciech Otto: Ubezpieczenia majątkowe. Wyd. 1. Cz. I: Teoria ryzyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2004, seria: Matematyka w ubezpieczeniach. ISBN 83-204-2887-4. (pol.).