Powinowactwo prostokątne

Powinowactwo prostokątne – rodzaj powinowactwa osiowego na płaszczyźnie.

Definicja

Powinowactwo prostokątne $f$ o osi $k$ jest to takie powinowactwo osiowe na płaszczyźnie, w którym prosta $k$ jest prostą punktów stałych tego przekształcenia, a wektor powinowactwa jest prostopadły do osi.
Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi $k{:}$ dowolny punkt $A$ i jego obraz punkt $A'.$
Stosunek powinowactwa jest to liczba $s$ spełniająca warunek: ${\vec {A_{P}'A'}}=s\cdot {\vec {A_{P}A}},$ gdzie punkty $A_{P}$ i $A'_{P}$ są rzutami prostokątnymi punktu $A$ i jego obrazu $A'$ na oś $k.$
Powinowactwo prostokątne można opisać w prostokątnym układzie współrzędnych wzorem analitycznym:
${\begin{cases}x'=x\\y'=sy\end{cases}}$

Własności

• Dla dowolnych punktów $A$ i $B$ niebędących punktami stałymi powinowactwa prostokątnego $f$ proste $Af(A)$ i $Bf(B)$ są równoległe.
• Jeśli wektor powinowactwa jest zerowy $(A=A'),$ to powinowactwo prostokątne staje się przekształceniem tożsamościowym.
• Jedynymi punktami stałymi w powinowactwie prostokątnym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa $k.$
• Jedynymi prostymi stałymi powinowactwa prostokątnego nietożsamościowego jest oś powinowactwa $k$ i wszystkie proste prostopadłe do osi powinowactwa.
• Powinowactwo prostokątne jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa $k$ i wektor powinowactwa prostopadły do osi.
• Powinowactwo prostokątne jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa $k,$ oraz stosunek powinowactwa $s.$
• Symetria osiowa jest powinowactwem prostokątnym, w którym środek wektora powinowactwa leży na osi powinowactwa.

Niezmienniki

• stosunek długości równoległych odcinków
• stosunek podziału wektora
• stosunek pól figur

Fakty

Można udowodnić, że każde przekształcenie afiniczne daje się przedstawić jako złożenie pewnego powinowactwa prostokątnego i pewnego podobieństwa.

Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem prostokątnym lub złożeniem dwóch albo trzech powinowactw prostokątnych. Z tego wynika, że powinowactwa prostokątne generują grupę przekształceń afinicznych.

Zobacz też

• grupa
• powinowactwo osiowe
• symetria osiowa

Bibliografia

• Jerzy Bednarczuk: Urok przekształceń afinicznych. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1978.