Przestrzeń czasowa – dowolny domknięty podzbiór liczb rzeczywistych
oznaczany
Na przestrzeniach czasowych można rozważać równania Δ-różniczkowe, które są unifikacją równań różniczkowych na
i równań różnicowych na
oraz uogólnieniem na przestrzeniach czasowych.
Podstawowymi funkcjami opisującymi przestrzeń
są funkcje skoku:
funkcja następnika/funkcja skoku przedniego (forward jump operator),
funkcja poprzednika/funkcja skoku wstecznego (backward jump operator),
funkcja ziarnistości (graininess function).
Każdy punkt
ma charakteryzację poprzez funkcje skoku. Punkt
jest:
- lewostronnie gęsty (left dense) jeżeli
![{\displaystyle \rho (t)=t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d47acfd746813e317aa76815ce2731b02332fbc)
- prawostronnie gęsty (right dense) jeżeli
![{\displaystyle \sigma (t)=t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d0ac5fd493daca0bb40adafd56a385037c3889)
- lewostronnie izolowany (left scattered) jeżeli
![{\displaystyle \rho (t)<t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2064420a68cc6d29bdf274e6d7dd5fd123e3c4fe)
- prawostronnie izolowany (right scattered) jeżeli
![{\displaystyle \sigma (t)>t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492d9614ee6f7315c1819d6e6ae45d8d27e152b8)
- gęsty (dense) jeżeli jest jednocześnie lewo- i prawostronnie gęsty,
- izolowany (isolated) jeżeli jednocześnie lewo- i prawostronnie izolowany.
Rozpatrzmy funkcję:
![{\displaystyle f\colon \mathbb {T} \to \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141629984f68123128c7264d39102b90ab2248f4)
(R można również zastąpić dowolną przestrzenią Banacha).
Δ-pochodną funkcji
w punkcie t nazwiemy liczbę
o własności:
![{\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{s\in B(t,\delta )\cap \mathbb {T} }\;\;|f(\sigma (t))-f(s)-f^{\Delta }(t)(\sigma (t)-s)|\leqslant \varepsilon |\sigma (t)-s|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65d21d44ca6fcac85ca3cc3c4c2bf73f4978373e)
- jeżeli
i funkcja
jest ciągła w
to: ![{\displaystyle f^{\Delta }(t)=\lim _{s\to t}{\frac {f(t)-f(s)}{t-s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1196e51469740c08a62da4251cc6bebdf1aab757)
- jeżeli
(i
ciągła w
), to: ![{\displaystyle f^{\Delta }(t)={\frac {f{\big (}\sigma (t){\big )}-f{\big (}t{\big )}}{\mu (t)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40bd6b5b3b0f69c4fafd2f1d82ded2c12149fef6)
Jeśli
i
są
różniczkowalne w punkcie
to:
![{\displaystyle (\alpha f+\beta g)^{\Delta }(t)=\alpha f^{\Delta }(t)+\beta g^{\Delta }(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab15df481d9bc1538dece3ccf55c0fc34d1057c7)
![{\displaystyle (fg)^{\Delta }(t)=f^{\Delta }(t)g(\sigma (t))+f(t)g^{\Delta }(t)=f^{\Delta }(t)g(t)+f(\sigma (t))g^{\Delta }(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18489058ac5bcf42e03d11784aac01a0d3cde29)
- jeżeli dodatkowo
to:
![{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)^{\Delta }\!(t)={\frac {f^{\Delta }(t)g(t)-f(t)g^{\Delta }(t)}{g(t)g(\sigma (t))}}={\frac {f^{\Delta }(t)g(\sigma (t))-f(\sigma (t))g^{\Delta }(t)}{g(t)g(\sigma (t))}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53be7286aab907206b62b2df76768ef02772d453)
Rozpatrzmy funkcję:
![{\displaystyle f\colon \mathbb {T} \to \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb052328d11a7de55bffe78cc5992a2d9ce3e9b)
Funkcją pierwotną funkcji
nazwiemy funkcję
taką, że
Funkcję
nazwiemy pg-ciągłą, jeżeli jest ciągła w punktach prawostronnie gęstych i istnieje skończona lewostronna granica w punktach lewostronnie gęstych.
Twierdzenie
Dla każdej funkcji pg-ciągłej istnieje jej funkcja pierwotna, na dodatek wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do stałej.
Powyższe twierdzenie pozwala na zdefiniowanie całki dla funkcji pg-ciągłych:
![{\displaystyle \int \limits _{t_{0}}^{t}f(x)\Delta x\;:=F(t)-F(t_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730c357c13b787024f77a1a1ff00799ca02f6db2)
Własności całki:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}\alpha f(t)+\beta g(t)\Delta t=\alpha \int _{a}^{b}f(t)\Delta t+\beta \int _{a}^{b}g(t)\Delta t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26232aa4a8c67c52928c78f2cf98b63e4bcf427c)
![{\displaystyle \int _{t}^{\sigma (t)}f(\tau )\Delta \tau =f(t)\mu (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ace6a4a5deb81806aad1fcaddadb057c3b2d2b)
![{\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {T} \Rightarrow \int _{a}^{b}f(t)\Delta t=\int _{a}^{b}f(t)dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa0d9b5829a0ee29fcc0a70316ac9945be19547e)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\Delta t=-\int _{b}^{a}f(t)\Delta t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af87c09e8e36baf0e54437d878c031692305cbb)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\Delta t=\int _{a}^{c}f(t)\Delta t+\int _{c}^{b}f(t)\Delta t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5678803195568c6d0febcd22cbc1b55cfe14683d)
![{\displaystyle |f(t)|\leqslant g(t)\Rightarrow \left|\int _{a}^{b}f(t)\Delta t\right|\leqslant \int _{a}^{b}g(t)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6471151273aa391b63a66efc7a1d17a17239d6d2)
Jeżeli za
przyjmiemy
to:
Jeżeli za
przyjmiemy
to: