Równanie różniczkowe Clairauta

Równanie różniczkowe Clairauta – równanie różniczkowe postaci

$y=xy'+f(y').$

O funkcjach $y$ oraz $f$ zakładamy, że są różniczkowalne w pewnych przedziałach.

Przez różniczkowanie obu stron otrzymujemy

$y'=y'+xy''+f'(y')y'',$

czyli

$y''=0$ lub $0=x+f'(y').$

To równanie łatwo rozwiązać. Jednak nie wszystkie rozwiązania tego równania są rozwiązaniami równania pierwotnego. Ostatecznie otrzymuje się rodzinę prostych i jej obwiednię.

Równanie Clairauta dla funkcji wielu zmiennych

Równanie to można uogólnić na przypadek wielu zmiennych $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.$ Ma ono wówczas postać

$y={{x}_{1}}{\frac {\partial y}{\partial {{x}_{1}}}}+{{x}_{2}}{\frac {\partial y}{\partial {{x}_{2}}}}+\ldots +{{x}_{n}}{\frac {\partial y}{\partial {{x}_{n}}}}+f\left({\frac {\partial y}{\partial {{x}_{1}}}},{\frac {\partial y}{\partial {{x}_{2}}}},\dots ,{\frac {\partial y}{\partial {{x}_{n}}}}\right).$

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1997, wyd. XIV, ISBN 83-01-11658-7.