Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Sumy Gaussa – sumy pewnych pierwiastków z jedynki odgrywające dużą rolę w teorii liczb. Ich najważniejsze własności zostały udowodnione przez Carla Friedricha Gaussa, który wykorzystał je w jednym z dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych.
Niech
będzie liczbą pierwszą, zaś
liczbą całkowitą. Wówczas suma Gaussa jest zadana wzorem
![{\displaystyle g(a,p)=\sum _{n=0}^{p-1}e^{2\pi ian^{2}/p}=\sum _{n=0}^{p-1}e_{p}(an^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27da6d8018a9ca4689c009aec391bb15bf34a6fe)
gdzie
Dla
niepodzielnych przez
(w przeciwnym wypadku suma jest równa
) równoważnie można ją zapisać jako
![{\displaystyle g(a,p)=\sum _{n=0}^{p-1}\left({\frac {n}{p}}\right)e^{2\pi ian/p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398e058fea02e1dca55f9b03a8aa215b31b1c1cf)
gdzie
jest symbolem Legendre’a.
- Do wyznaczenia wartości sum Gaussa wystarczy wyznaczenie
![{\displaystyle g(1,p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/532ab9bd981b8ab07420750f228b7bb17150a235)
![{\displaystyle g(a,p)=\left({\frac {a}{p}}\right)g(1,p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b9bbb94b2e431cd3067e5b69f9b229e3a537be)
- Dokładna wartość
wyliczona przez Gaussa wynosi
![{\displaystyle g(1;p)={\begin{cases}{\sqrt {p}}&p\equiv 1\mod 4\\i{\sqrt {p}}&p\equiv 3\mod 4\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80988350bd6c0600c273f5c82517c0a94c1c803f)
- Dowód tego, że wartość bezwzględna
wynosi
jest prosty:
gdyż
![{\displaystyle \sum _{m=1}^{p-1}e_{p}(m(n+1))={\begin{cases}p-1&n\equiv -1\mod p\\-1&{\text{w przeciwnym przypadku}}.\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9bc4c35c54073a36c6a5c3e89c3f1a4acbb923)
- Ogólnie dla dowolnej sumy
gdzie
jest liczbą całkowitą, zachodzi
![{\displaystyle S(N)={\begin{cases}(1+i){\sqrt {N}}&N\equiv 0\mod 4\\{\sqrt {N}}&N\equiv 1\mod 4\\0&N\equiv 2\mod 4\\i{\sqrt {N}}&N\equiv 3\mod 4\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fcae7139ff6c4a6e83da722b7a42eaa1e86eefa)
- Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer, 2000.