Tabele współczynników Clebscha-Gordana

Tabele współczynników Clebscha-Gordana używa się do dodawania stanów kwantowych operatora momentu pędu. Znak współczynników dla danego zestawy liczb $j_{1},j_{2},j$ jest do pewnego stopnia dowolny i został ustalony zgodnie z konwencją Condona-Shortlego i Wignera.

Sprzężenie stanów $j_{1}=1/2,\ j_{2}=1/2$

Omówimy tu sposób wykorzystania tabel ze współczynnikami C-G na podstawie przypadku sprzęgania stanów o liczbach kwantowych $j_{1}=1/2,j_{2}=1/2.$

(1) W kolejnych wierszach tabel podane są możliwe wartości $j,m,m_{1},m_{2}.$

(2) Współczynniki C-G dla danych wartości $j,m$ i wartości $m_{1},m_{2}$ są na skrzyżowaniu kolumny z wartościami $j,m$ oraz wiersza w wartościami $m_{1},m_{2}$ – podano je wytłuszczonym drukiem. Przy czym z podanych wartości liczbowych należy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy, zostawiając ewentualny znak – przed pierwiastkiem.

$j_{1}=1/2,\ j_{2}=1/2$

	j	1
	m	1
m1, m2	+1/2, +1/2	1

cd. $j_{1}=1/2,\ j_{2}=1/2$

	j	1
	m	−1
m1, m2	−1/2, −1/2	1

cd. $j_{1}=1/2,\ j_{2}=1/2$

	j	1	0
	m	0	0
m1, m2	1/2, −1/2	1/2	1/2
m1, m2	−1/2, 1/2	1/2	−1/2

Sprzężenie stanów $j_{1}$ – dowolna liczba, $j_{2}=0$

$j_{1}=j,\ j_{2}=0$

	j	j
	m	m1
m1, m2	m1, 0	1

czyli mamy:

$|j_{1},m_{1}\rangle |0,0\rangle =|j_{1},m_{1}\rangle$

Sprzężenie stanów $j_{1}=1,\ j_{2}=1/2$

$j_{1}=1,\ j_{2}=1/2$

	j	3/2
	m	+3/2
m1, m2	+1, +1/2	1

cd. $j_{1}=1,\ j_{2}=1/2$

	j	3/2	1/2
	m	+1/2	+1/2
m1, m2	1, −1/2	1/3	2/3
m1, m2	0, +1/2	2/3	−1/3

cd. $j_{1}=1,\ j_{2}=1/2$

	j	3/2	1/2
	m	−1/2	−1/2
m1, m2	0, −1/2	2/3	1/3
m1, m2	−1, +1/2	1/3	−2/3

cd. $j_{1}=1,\ j_{2}=1/2$

	j	3/2
	m	−3/2
m1, m2	−1, −1/2	1

Sprzężenie stanów $j_{1}=1,\ j_{2}=1$

$j_{1}=1,\ j_{2}=1$

	j	2
	m	2
m1, m2	+1, +1	1

cd. $j_{1}=1,\ j_{2}=1$

	j	2	1
	m	+1	+1
m1, m2	+1, 0	1/2	1/2
m1, m2	0, +1	1/2	−1/2

cd. $j_{1}=1,\ j_{2}=1$

	j	2	1	0
	m	0	0	0
m1, m2	+1, −1	1/6	1/2	1/3
m1, m2	0, 0	2/3	0	−1/3
m1, m2	−1, +1	1/6	−1/2	1/3

cd. $j_{1}=1,\ j_{2}=1$

	j	2	1
	m	−1	−1
m1, m2	0, −1	1/2	1/2
m1, m2	−1, 0	1/2	−1/2

cd. $j_{1}=1,\ j_{2}=1$

	j	2
	m	−2
m1, m2	−1, −1	1

Sprzężenie stanów $j_{1}=2,\ j_{2}=1/2$

$j_{1}=2,\ j_{2}=1/2$

	j	5/2
	m	+5/2
m1, m2	+2, +1/2	1

cd. $j_{1}=2,\ j_{2}=1/2$

	j	5/2	3/2
	m	+3/2	+3/2
m1, m2	+2, −1/2	1/5	4/5
m1, m2	+1, +1/2	4/5	−1/5

cd. $j_{1}=2,\ j_{2}=1/2$

	j	5/2	3/2
	m	+1/2	+1/2
m1, m2	1, −1/2	2/5	3/5
m1, m2	0, +1/2	3/5	−2/5

cd. $j_{1}=2,\ j_{2}=1/2$

	j	5/2	3/2
	m	−1/2	−1/2
m1, m2	0, −1/2	3/5	2/5
m1, m2	−1, +1/2	2/5	−3/5

cd. $j_{1}=2,\ j_{2}=1/2$

	j	5/2	3/2
	m	−3/2	−3/2
m1, m2	−1, −1/2	4/5	1/5
m1, m2	−2, +1/2	1/5	−4/5

cd. $j_{1}=2,\ j_{2}=1/2$

	j	5/2
	m	−5/2
m1, m2	−2, −1/2	1

Sprzężenie stanów $j_{1}=2,\ j_{2}=1$

$j_{1}=2,\ j_{2}=1$

	j	3
	m	+3
m1, m2	+2, +1	1

cd. $j_{1}=2,\ j_{2}=1$

	j	3	2
	m	+2	+2
m1, m2	+2, 0	1/3	2/3
m1, m2	+1, +1	2/3	−1/3

cd. $j_{1}=2,\ j_{2}=1$

	j	3	2	1
	m	+1	+1	+1
m1, m2	+2, −1	1/15	1/3	3/5
m1, m2	+1, 0	8/15	1/6	−3/10
m1, m2	0, +1	2/5	−1/2	1/10

cd. $j_{1}=2,\ j_{2}=1$

	j	3	2	1
	m	0	0	0
m1, m2	+1, −1	1/5	1/2	3/10
m1, m2	0, 0	3/5	0	−2/5
m1, m2	−1, +1	1/5	−1/2	3/10

cd. $j_{1}=2,\ j_{2}=1$

	j	3	2	1
	m	−1	−1	−1
m1, m2	0, −1	2/5	1/2	1/10
m1, m2	−1, 0	8/15	−1/6	−3/10
m1, m2	−2, +1	1/15	−1/3	3/5

cd. $j_{1}=2,\ j_{2}=1$

	j	3	2
	m	−2	−2
m1, m2	−1, −1	2/3	1/3
m1, m2	−2, 0	1/3	−2/3

cd. $j_{1}=2,\ j_{2}=1$

	j	3
	m	−3
m1, m2	−2, −1	1

Sprzężenie stanów $j_{1}=3/2,\ j_{2}=1/2$

$j_{1}=3/2,\ j_{2}=1/2$

	j	2
	m	+2
m1, m2	+3/2, +1/2	1

cd. $j_{1}=3/2,\ j_{2}=1/2$

	j	2	1
	m	+1	+1
m1, m2	+3/2, −1/2	1/4	3/4
m1, m2	+1/2, +1/2	3/4	−1/4

cd. $j_{1}=3/2,\ j_{2}=1/2$

	j	2	1
	m	0	0
m1, m2	+1/2, −1/2	1/2	1/2
m1, m2	−1/2, +1/2	1/2	−1/2

cd. $j_{1}=3/2,\ j_{2}=1/2$

	j	2	1
	m	−1	−1
m1, m2	−1/2, −1/2	3/4	1/4
m1, m2	−3/2, +1/2	1/4	−3/4

cd. $j_{1}=3/2,\ j_{2}=1/2$

	j	2
	m	−2
m1, m2	−3/2, −1/2	1

Sprzężenie stanów $j_{1}=3/2,\ j_{2}=1$

$j_{1}=3/2,j_{2}=1$

	j	5/2
	m	+5/2
m1, m2	+3/2, +1	1

cd. $j_{1}=3/2,\ j_{2}=1$

	j	5/2	3/2
	m	+3/2	+3/2
m1, m2	+3/2, 0	2/5	3/5
m1, m2	+1/2, +1	3/5	−2/5

cd. $j_{1}=3/2,\ j_{2}=1$

	j	5/2	3/2	1/2
	m	+1/2	+1/2	+1/2
m1, m2	+3/2, −1	1/10	2/5	1/2
m1, m2	+1/2, 0	3/5	1/15	−1/3
m1, m2	−1/2, +1	3/10	−8/15	1/6

cd. $j_{1}=3/2,\ j_{2}=1$

	j	5/2	3/2	1/2
	m	−1/2	−1/2	−1/2
m1, m2	+1/2, −1	3/10	8/15	1/6
m1, m2	−1/2, 0	3/5	−1/15	−1/3
m1, m2	−3/2, +1	1/10	−2/5	1/2

cd. $j_{1}=3/2,\ j_{2}=1$

	j	5/2	3/2
	m	−3/2	−3/2
m1, m2	−1/2, −1	3/5	2/5
m1, m2	−3/2, 0	2/5	−3/5

cd. $j_{1}=3/2,\ j_{2}=1$

	j	5/2
	m	−5/2
m1, m2	−3/2, −1	1

Definicja

Współczynniki Clebscha-Gordana są rozwiązaniami równań $|j_{1},j_{2};J,M\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}\rangle \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle$

czyli

${\begin{aligned}&\langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle \\[6pt]=\ &\delta _{M,m_{1}+m_{2}}{\sqrt {\frac {(2J+1)(J+j_{1}-j_{2})!(J-j_{1}+j_{2})!(j_{1}+j_{2}-J)!}{(j_{1}+j_{2}+J+1)!}}}\\[6pt]\times \ &{\sqrt {(J+M)!(J-M)!(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!}}\\[6pt]\times \ &\sum _{k}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-J-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(J-j_{2}+m_{1}+k)!(J-j_{1}-m_{2}+k)!}}.\end{aligned}}$

Sumowanie przebiega dla liczb k dla których każdy składnik jest nieujemny.

Dla skrócenia zapisu rozwiązania z $M<0$ oraz $j_{1}<j_{2}$ można obliczyć na podstawie prostych zależności

$\langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{1},j_{2};-m_{1},-m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,-M\rangle .$

oraz

$\langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{2},j_{1};m_{2},m_{1}\mid j_{2},j_{1};J,M\rangle .$

Zobacz też

• izospin
• moment pędu
• spin
• współczynniki Clebscha-Gordana

Bibliografia

• David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press, 2008.

Źródła zewnętrzne

• Teoria całkowitego momentu pędu – wikibooks