Twierdzenia Hohenberga-Kohna
Twierdzenia Hohenberga-Kohna są podstawą kwantowochemicznej teorii funkcjonału gęstości.
Pierwsze twierdzenie Hohenberga-Kohna[edytuj | edytuj kod]
Pierwsze twierdzenie Hohenberga-Kohna głosi, że dla niezdegenerowanego stanu podstawowego, energia układu jest jednoznacznie określona przez jego gęstość elektronową, czyli że energia układu jest funkcjonałem gęstości elektronowej. Warto zauważyć, że pierwsze twierdzenie Hohenberga-Kohna nie podaje postaci tego funkcjonału, a jedynie stwierdza jego istnienie.
W postaci bardziej ogólnej, pierwsze twierdzenie Hohenberga-Kohna stwierdza, że istnieje jednoznaczny związek między gęstością elektronową a potencjałem zewnętrznym układu, a zatem nie tylko jego energią, ale wszystkimi obserwablami. Pierwsze twierdzenie Hohenberga-Kohna można też uogólnić na stany zdegenerowane.
Dowód pierwszego twierdzenia Hohenberga-Kohna (dowód nie wprost)[edytuj | edytuj kod]
Założmy, że gęstości stanu podstawowego odpowiadają dwa różne potencjały zewnętrzne i (oraz hamiltoniany i ), a zatem też dwie różne funkcje falowe, i
Z zasady wariacyjnej wynika, że:
Analogicznie:
Prowadzi to zatem do sprzeczności:
co dowodzi fałszywości założeń początkowych i tym samym prawdziwości pierwszego twierdzenia Hohenberga-Kohna.
Drugie twierdzenie Hohenberga-Kohna[edytuj | edytuj kod]
jest odpowiednikiem zasady wariacyjnej w teorii funkcjonałów gęstości i głosi, że gdy oblicza się energię stanu podstawowego dla próbnych gęstości elektronowych, minimum energii występuje dla dokładnej gęstości elektronowej stanu podstawowego.
Twierdzenia Hohenberga-Kohna sformułowane zostały przez Pierre’go Hohenberga i Waltera Kohna w 1964 roku.
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- P. Hohenberg, W. Kohn: Inhomogeneous Electron Gas. Phys. Rev. 136 (1964) B864-B871.