Twierdzenie o rozkładzie jedności

Twierdzenie o rozkładzie jedności – twierdzenie, używane jako pomocnicze w teorii dystrybucji, mówiące o istnieniu funkcji gładkich o specjalnych własnościach, związanych z przeliczalnymi pokryciami otwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowych.

Twierdzenie

Niech $(\Omega _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ będzie (co najwyżej) przeliczalnym pokryciem zbiorami otwartymi zbioru otwartego $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{N},$ tzn.

$\Omega \subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }\Omega _{n}.$

Istnieją wówczas dla każdej liczby naturalnej $n$ takie funkcje

$\omega _{n}\colon \Omega \to \mathbb {R} ,$

że:

• $\omega _{n}\in C^{\infty }(\Omega )$
• ${\mbox{supp }}\omega _{n}\subseteq \Omega _{n}$
• $\omega _{n}(x)\geqslant 0$ oraz $\sum _{n=1}^{\infty }\omega _{n}(x)=1$ dla każdego $x\in \Omega$
• każdy zbiór zwarty, zawarty w $\Omega ,$ przecina niepusto tylko skończoną liczbę nośników funkcji $\omega _{n}.$

Bibliografia

• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989, s. 284–288.