Współrzędne Fatou

Obszary definicji współrzędnych Fatou dla funkcji $f(z)=z+a2z^{2}+O(z^{3})$

Współrzędne Fatou – przekształcenie płaszczyzny zespolonej ułatwiające badanie dynamiki kiełków funkcji holomorficznych w otoczeniu parabolicznego punktu stałego. Nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Pierre’a Fatou.

Definicja formalna

Odpychające kwiaty wokół punktu stałego i jego przeciwobrazów. Współrzędne Fatou są zdefiniowane wewnątrz płatków wokół parabolicznego punktu stałego

Prosty kiełek paraboliczny w zerze ma postać

$F(w)=w+aw^{2}+O(w^{3}),$

gdzie:

• O oznacza notację dużego O,
• zero oznacza punkt w=0, czyli biegun w układzie współrzędnych biegunowych, który jest parabolicznym punktem stałym funkcji F(w).

Można zmienić współrzędne w taki sposób, aby:

• $a=1,$
• punkt stały przenieść z zera do nieskończoności (punkt $\infty$ sfery Riemanna).

Po zmianie współrzędnych $z=-{\frac {1}{w}}$ kiełek funkcji

$f(z)=-{\frac {1}{F(-{\frac {1}{z}})}}$

ma postać

$f(z)=z+1+O(z^{-1}).$

Istnieją takie stałe $c,\alpha {:}$

$c>0,$

$\pi >\alpha >\pi /2,$

takie że w sektorach

$\{|\operatorname {arg} (z-c)|<\alpha \}$

i

$\{|\operatorname {arg} (z+c)-\pi |<\alpha \}$

istnieją rozwiązania analityczne równania funkcyjnego Abela

$\varphi (f(z))=\varphi (z)+1$

z asymptotami w nieskończoności

$\varphi (z)=c+z+A\log z+O(z^{-1}).$

Te rozwiązania $\varphi (z)$ nazywane są współrzędnymi Fatou.

Zastosowanie

orbity punktów w otoczeniu parabolicznego punktu stałego

Leniwa dynamika: punkt krytyczny potrzebuje około 100 000 iteracji aby zbliżyć się do punktu stałego

Współrzędne Fatou umożliwiają pełny opis lokalny dynamiki $F(w)$ w otoczeniu parabolicznego punktu stałego.

Orbity punktów w otoczeniu parabolicznego są złożone z dwóch przekształceń:

• rotacji wokół punktu stałego,
• początkowego oddalaniu się, a potem przybliżaniu do punktu stałego.

Potrzeba bardzo dużej liczby iteracji aby sprawdzić, czy punkt w:

• ucieka do nieskończoności, czyli leży na zewnątrz od zbioru Julii,
• dąży do punktu stałego, czyli jest wewnątrz zbioru Julii.

Dynamika w otoczeniu parabolicznego punktu stałego jest więc:

• złożona,
• leniwa (powolna)

i z tych powodów jej ocena jest trudna.

Orbity $F(w)$ w okolicy parabolicznego punktu stałego zachowują się jak orbity funkcji $z\to z+1$ w okolicy punktu stałego w nieskończoności (punkt $z=\infty$ sfery Riemanna).

Łatwiej analizować zachowanie funkcji $z\to z+1$ niż $F(w)$.