Iloraz różnicowy – wielkość opisująca przyrost funkcji na danym przedziale.
Niech
i
Wtedy ilorazem różnicowym nazywamy iloraz[1]:
![{\displaystyle {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a625fb551bc1b047078affeb6a789cd5da06c1)
Jeżeli nie prowadzi to do niejasności stosujemy też oznaczenie
gdzie
oznacza licznik, zaś
– mianownik powyższego ułamka.
Dla funkcji
i punktów
ich iloraz różnicowy wynosi:
![{\displaystyle {\frac {1^{3}-0^{3}}{1-0}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f996a41a4418147f8e5ad3c46c6fdf3ddc6c7ac)
Rysunek przedstawia interpretację geometryczną ilorazu różnicowego dla dwóch punktów
Prostą
nazywa się sieczną lub cięciwą.
- Uwaga
-
![{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\Delta f}{\Delta x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9119db0453057b79569eb31fcc758b64454858)
- wyłącznie w prostokątnym układzie współrzędnych o równych jednostkach na obu osiach.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/Difference_quotient-chart.png)
Jeżeli
określa zmianę drogi ciała w czasie, to iloraz różnicowy funkcji
w dla punktów
określa średnią prędkość ciała w czasie od
do
Osobny artykuł: pochodna.
Pochodna funkcji jednej zmiennej w punkcie x0 jest definiowana jako następująca granica ilorazu różnicowego:
![{\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0521c491ebd170eac6c0435b38cbbf14ba1a4f3)
Ilorazem różnicowym
-tego rzędu funkcji
w punktach
nazywamy funkcję
![{\displaystyle f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{N}]:=\sum \limits _{i=0}^{N}~{\frac {f(x_{i})}{\prod \limits _{j=0 \atop j\neq i}^{N}(x_{i}-x_{j})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c1f573f98bc2204c9f13366c8ca0e7956cf9b0)
Prawdziwy jest związek rekurencyjny:
![{\displaystyle {\begin{cases}f[x_{i}]=f(x_{i})\quad (0\leqslant i\leqslant N)\\f[x_{k},x_{k+1},\dots ,x_{k+m}]={\frac {f[x_{k+1},x_{k+2},\dots ,x_{k+m}]-f[x_{k},x_{k+1},\dots ,x_{k+m-1}]}{x_{k+m}-x_{k}}}\quad (0\leqslant k<k+m\leqslant n)\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2410ddcfc2905cabd2639a7a99dd340890e6be82)