Twierdzenie Szarkowskiego
Twierdzenie Szarkowskiego – twierdzenie podane w 1964 r. przez ukraińskiego matematyka Aleksandra Mikołajewicza Szarkowskiego dotyczące występowania punktów okresowych dla ciągłych funkcji prostej rzeczywistej[1]. Twierdzenie to jest również uogólnieniem twierdzenia Li-Yorke’a z 1975 r.
Porządek Szarkowskiego[edytuj | edytuj kod]
Porządek Szarkowskiego to porządek w zbiorze liczb naturalnych oznaczany w którym elementem najmniejszym jest liczba 1 a największym 3:
Twierdzenie Szarkowskiego[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie funkcją ciągłą, a to domknięty odcinek lub cała prosta Jeśli ma punkt okresowy o okresie oraz w porządku Szarkowskiego, to ma punkt okresowy o okresie
Idea dowodu[edytuj | edytuj kod]
Zawiły dowód podany przez Szarkowskiego w 1964 roku był wielokrotnie upraszczany. Nowoczesny dowód używa niżej zdefiniowanego pojęcia A-grafu.
A-graf[edytuj | edytuj kod]
Powiemy, że przedział nakrywa przedział przy funkcji gdy Niech będzie punktem okresowym o okresie i orbicie uporządkowanej następująco: Oznaczmy przedziały dla Graf o wierzchołkach nazywamy A-grafem. Krawędź występuje w A-Grafie, gdy przedział nakrywa
Tworzenie orbit za pomocą A-grafu[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie cyklem w A-grafie. Jeśli nie jest to cykl, który jest prostym złożeniem innych cykli, to istnieje podprzedział taki, że dla oraz
Szkic dowodu[edytuj | edytuj kod]
Mając dany punkt okresowy i jego orbitę tworzymy dla niego -wierzchołkowy A-graf. Aby pokazać istnienie punktu okresowego o okresie znajdujemy nietrywialny cykl długości
Uogólnienie na wyższe wymiary[edytuj | edytuj kod]
Twierdzenie Szarkowskiego nie zachodzi w wymiarach wyższych niż 1. Kontrprzykład: niech będzie obrotem o kąt wokół punktu Przekształcenie ma dokładnie jeden punkt stały a wszystkie pozostałe punkty są okresowe o okresie
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ A.N. Sharkovskii, Co-existence of cycles of a continuous mapping of the line into itself, Ukrainian Math. J. 16:61–71 (1964).
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- L.S. Block, W.A. Coppel, Dynamics in One Dimension, Lecture Notes in Mathematics, tom 1513, 1992, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Zawiera nietrudny dowód twierdzenia Szarkowskiego bazujący na A-Grafach.
- O ustawianiu liczb naturalnych, czyli twierdzenie Szarkowskiego. W: Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda: Diamenty matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, 1997. ISBN 83-7180-145-9.
Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]
- Eric W. Weisstein , Sharkovsky's Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-26].
- Aleksandr Nikolayevich Sharkovsky, Sharkovsky ordering (ang.), Scholarpedia, scholarpedia.org, 2008 [dostęp 2023-08-26].