Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Kwadryka lub powierzchnia drugiego stopnia – powierzchnia dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,\ y,\ z}
[1] :
a
11
x
2
+
a
22
y
2
+
a
33
z
2
+
2
a
12
x
y
+
2
a
23
y
z
+
2
a
13
z
x
+
2
a
14
x
+
2
a
24
y
+
2
a
34
z
+
a
44
=
0
,
(
1
)
{\displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}zx+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0,\qquad (1)}
gdzie:
a
11
,
a
22
,
a
33
,
a
12
,
a
23
,
a
13
,
a
14
,
a
24
,
a
34
,
a
44
∈
R
,
{\displaystyle a_{11},a_{22},a_{33},a_{12},a_{23},a_{13},a_{14},a_{24},a_{34},a_{44}\in \mathbb {R} ,}
przy czym nie zachodzi
a
11
=
a
22
=
a
33
=
a
12
=
a
23
=
a
13
=
0
{\displaystyle a_{11}=a_{22}=a_{33}=a_{12}=a_{23}=a_{13}=0}
(przynajmniej jeden z powyższych współczynników musi być różny od zera).
W zależności od wartości współczynników
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
kwadryka może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.
Wykresy i równania kanoniczne [ edytuj | edytuj kod ]
Poprzez odpowiednie przekształcenie układu współrzędnych można równanie kwadryki sprowadzić do postaci kanonicznej, charakterystycznej dla jednego z wymienionych niżej 17 typów.
W poniższych wzorach
a
,
b
,
c
∈
R
+
.
{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} _{+}.}
elipsoida
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}
elipsoida obrotowa (szczególny przypadek elipsoidy)
x
2
a
2
+
y
2
a
2
+
z
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1}
sfera (szczególny przypadek elipsoidy obrotowej)
x
2
a
2
+
y
2
a
2
+
z
2
a
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}}}=1}
paraboloida eliptyczna
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z=0}
paraboloida obrotowa (szczególny przypadek paraboloidy eliptycznej)
x
2
a
2
+
y
2
a
2
−
z
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-z=0}
paraboloida hiperboliczna
x
2
a
2
−
y
2
b
2
−
z
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z=0}
hiperboloida jednopowłokowa
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}
hiperboloida dwupowłokowa
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
−
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1}
powierzchnia stożkowa
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0}
walec eliptyczny
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
powierzchnia boczna zwykłego walca o nieskończonej wysokości (szczególny przypadek walca eliptycznego)
x
2
a
2
+
y
2
a
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1}
walec hiperboliczny
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
walec paraboliczny
x
2
+
2
a
y
=
0
{\displaystyle x^{2}+2ay=0}
przecinające się płaszczyzny
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0}
tzw. przecinające się płaszczyzny urojone
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0}
prosta
równoległe płaszczyzny
x
2
=
a
2
{\displaystyle x^{2}=a^{2}}
nakładające się płaszczyzny
x
2
=
0
{\displaystyle x^{2}=0}
tzw. równoległe płaszczyzny urojone
x
2
=
−
a
2
{\displaystyle x^{2}=-a^{2}}
zbiór pusty
tzw. elipsoida urojona
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
−
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1}
zbiór pusty
tzw. stożek urojony
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0}
pojedynczy punkt
tzw. urojony walec eliptyczny
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
−
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1}
zbiór pusty
Ostatnie kilka przypadków opisuje kwadryki zdegenerowane, w których dla kanonicznego układu współrzędnych znika co najmniej jedna ze współrzędnych. Niektórzy autorzy nie zaliczają ich do kwadryk. W tym sensie także walce są przypadkami zdegenerowanymi, gdyż można je przedstawić w postaci zawierającej tylko dwie współrzędne. Ponadto warto zauważyć, że niektóre z tych zdegenerowanych kwadryk nie są powierzchniami (prosta, punkt, zbiór pusty ).
Równanie kwadryki można też przedstawić w postaci macierzowej:
x
T
⋅
A
⋅
x
+
2
a
T
⋅
x
+
a
44
=
0
,
{\displaystyle \mathbf {x} ^{T}\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} +2\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {x} +a_{44}=0,}
gdzie:
A
=
[
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{bmatrix}}}
a
=
[
a
14
a
24
a
34
]
{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{14}\\a_{24}\\a_{34}\end{bmatrix}}}
x
=
[
x
y
z
]
{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}
Poniższe wielkości nie zmieniają się przy zmianie początku układu współrzędnych i rotacji jego osi (równoważnie: przy przesuwaniu i obracaniu powierzchni względem układu współrzędnych):
Δ
=
|
a
11
a
12
a
13
a
14
a
12
a
22
a
23
a
24
a
13
a
23
a
33
a
34
a
14
a
24
a
34
a
44
|
{\displaystyle \Delta =\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_{34}\\a_{14}&a_{24}&a_{34}&a_{44}\end{matrix}}\right|}
δ
=
det
A
=
|
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
|
{\displaystyle \delta =\det A=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{matrix}}\right|}
S
=
a
11
+
a
22
+
a
33
{\displaystyle S=a_{11}+a_{22}+a_{33}}
T
=
a
22
a
33
+
a
33
a
11
+
a
11
a
22
−
a
23
2
−
a
13
2
−
a
12
2
{\displaystyle T=a_{22}a_{33}+a_{33}a_{11}+a_{11}a_{22}-a_{23}^{2}-a_{13}^{2}-a_{12}^{2}}
Określenie typu na podstawie współczynników [ edytuj | edytuj kod ]
Korzystając ze znaku niezmienników można określić typ powierzchni danej równaniem (1) niezależnie od jej położenia w układzie współrzędnych.
δ
≠
0
{\displaystyle \delta \neq 0}
tzw. powierzchnie środkowe:
Δ
<
0
:
{\displaystyle \Delta <0{:}}
Δ
>
0
:
{\displaystyle \Delta >0{:}}
Δ
=
0
:
{\displaystyle \Delta =0{:}}
S
δ
>
0
,
T
>
0
{\displaystyle S\delta >0,\ T>0}
pojedynczy punkt (tzw. stożek urojony)
S
δ
>
0
,
T
<
0
{\displaystyle S\delta >0,\ T<0}
powierzchnia stożkowa
S
δ
<
0
,
T
>
0
{\displaystyle S\delta <0,\ T>0}
powierzchnia stożkowa
δ
=
0
:
{\displaystyle \delta =0{:}}
Δ
≠
0
{\displaystyle \Delta \neq 0}
paraboloidy :
Δ
=
0
:
{\displaystyle \Delta =0{:}}
|
a
11
a
12
a
14
a
12
a
22
a
24
a
14
a
24
a
44
|
+
|
a
11
a
13
a
14
a
13
a
33
a
34
a
14
a
34
a
44
|
+
|
a
22
a
23
a
24
a
23
a
33
a
34
a
24
a
34
a
44
|
=
0
{\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{14}\\a_{12}&a_{22}&a_{24}\\a_{14}&a_{24}&a_{44}\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}&a_{14}\\a_{13}&a_{33}&a_{34}\\a_{14}&a_{34}&a_{44}\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{23}&a_{33}&a_{34}\\a_{24}&a_{34}&a_{44}\end{matrix}}\right|=0}
przypadek zdegenerowany (suma dwóch płaszczyzn, jedna płaszczyzna, prosta lub zbiór pusty)
w przeciwnym wypadku powierzchnia walcowa oparta na krzywej stożkowej :
typy powiązane bryły
inne powiązane pojęcia
występowanie