Kryterium Gaussa

Kryterium Gaussa – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

(A)

o wyrazach dodatnich. Jeżeli istnieją takie liczby $a,b>0$ oraz ciąg ograniczony $(c_{n})$ o tej własności, że dla dostatecznie dużych $n$ zachodzi związek

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=a+{\frac {b}{n}}+{\frac {c_{n}}{n^{2}}},$

to

• szereg (A) jest zbieżny, gdy $a>1$ lub $a=1$ oraz $b>1;$
• szereg (A) jest rozbieżny, gdy $a<1$ lub $a=1$ oraz $b\leqslant 1$.

Przykład zastosowania

Niech $p>0$ oraz niech dany będzie szereg

$1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{p}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{p}+\ldots +\left({\frac {(2n-1)!!}{2n!!}}\right)^{p}+\ldots$

Jest on zbieżny gdy $p>2$ oraz rozbieżny w przeciwnym przypadku. Istotnie, z zastosowania wzoru Taylora wynika, że

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\left({\frac {2n}{2n-1}}\right)^{p}=\left(1-{\frac {1}{2n}}\right)^{p}=1+{\frac {p}{2n}}+{\frac {p(p+1)}{1\cdot 2}}\cdot {\frac {1}{(2n)^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right).$

Wynika stąd, że

${\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\tfrac {p}{2}}{n}}+{\frac {c_{n}}{n^{2}}},$

gdzie ciąg $(c_{n})$ jest ograniczony.

Dowód

Przypadki, gdy $a>1$ lub $a<1$ wynikają z zastosowania kryterium d’Alemberta, gdyż

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {1}{a}}.$

Niech zatem $a=1.$ Wówczas stosując kryterium Raabego:

$R_{n}=n\cdot \left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)=b+{\frac {c_{n}}{n}},$

które rozstrzyga zbieżność szeregu (A) gdy $b>1$ lub $b<1.$ Niech więc $b=1.$ W tym przypadku, szereg (A) jest rozbieżny, gdyż stosując kryterium Bertranda:

$B_{n}=\ln n\left(n\cdot \left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)-1\right)={\frac {\ln n}{n}}\cdot c_{n},$

dostaje się

$B=\lim _{n\to \infty }B_{n}=0$.

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.