Przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa

Przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa – pierwszy przykład przestrzeni Banacha, która nie jest WCG, ale jej przestrzeń sprzężona jest WCG. Nazwa przestrzeni pochodzi od nazwisk W.B. Johnsona i J. Lindenstrussa, którzy podali jej konstrukcję w 1974.

Konstrukcja

Niech ${\mathcal {B}}$ będzie rodziną mocy continuum złożoną z podzbiorów zbioru liczb naturalnych o tej własności, że dla dowolnych dwóch różnych $A,B\in {\mathcal {B}}$ część wspólna $A\cap B$ jest skończona. Niech $V$ będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni $\ell _{\infty }$ generowaną przez podprzestrzeń c₀ oraz rodzinę funkcji charakterystycznych zbiorów z rodziny ${\mathcal {B}}.$ Każdy element $x$ przestrzeni $V$ ma zatem jednoznaczne przedstawienie w postaci skończonej sumy

$x=y+\sum _{k=1}^{n}a_{A_{k}}\mathbf {1} _{A_{k}}$

(1)

dla pewnych $y\in c_{0},$ zbiorów $A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {B}}$ oraz skalarów $a_{A_{1}},\dots ,a_{A_{n}}.$ Wzór

$\|x\|_{\mathrm {JL} _{2}}=\max {\big \{}\|x\|_{c_{0}},{\Big (}\sum _{k=1}^{n}|a_{A_{k}}|^{2}{\Big )}^{\tfrac {1}{2}}{\big \}}$

określa normę w przestrzeni $V.$ Przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa $\mathrm {JL} _{2}$ to uzupełnienie przestrzeni unormowanej $(V,\|{\cdot }\|_{\mathrm {JL} _{2}}).$ Powyższa definicja zależy od wyboru rodziny ${\mathcal {B}}$ jednak niezależenie od doboru ${\mathcal {B}},$ przestrzeń $\mathrm {JL} _{2}$ nie będzie WCG w przeciwieństwie do przestrzeni sprzężonej $\mathrm {JL} _{2}^{*}.$ Rzeczywiście, przestrzeń $c_{0}$ jest (izometryczna z) podprzestrzenią $\mathrm {JL} _{2}.$ Niech $x\in V$ będzie dany wzorem (1). Wówczas

$\|x\|_{\mathrm {JL} _{2}}\geqslant {\Big (}\sum _{k=1}^{n}|a_{A_{k}}|^{2}{\Big )}^{\tfrac {1}{2}}=\|(a_{A})_{A\in {\mathcal {B}}}\|_{\ell _{2}({\mathfrak {c}})}.$

Ponieważ każde dwa zbiory $A,B\in {\mathcal {B}}$ mają skończoną część wspólną, istnieje taki element $z$ o skończonym nośniku (czyli $z\in c_{0}$), że

$\|z+\sum _{k=1}^{n}a_{A_{k}}\mathbf {1} _{A_{k}}\|=\max _{i\leqslant n}|a_{A_{i}}|,$

czyli norma ilorazowa klasy abstrakcji $x$ w $\mathrm {JL} _{2}/c_{0}$ wynosi

$\|[x]\|_{\mathrm {JL} _{2}/c_{0}}=\|(a_{A})_{A\in {\mathcal {B}}}\|_{\ell _{2}({\mathfrak {c}})}.$

Przechodząc do elementów w uzupełnieniu $V,$ można wywnioskować, że

$\mathrm {JL} _{2}/c_{0}\cong \ell _{2}({\mathfrak {c}}).$

Przestrzeń sprzężona do JL₂

Dla każdej liczby naturalnej $n$ funkcjonał $e_{n}$ określony wzorem

$\langle e_{n},x\rangle =x(n)\quad (x\in \mathrm {JL} _{2})$

jest liniowy i ciągły. Ponadto, zbiór $\{e_{n}\colon n=1,2,3,\dots \}$ jest liniowo gęsty w $\mathrm {JL} _{2}^{*},$ czyli *-słaba topologia w $\mathrm {JL} _{2}^{*}$ jest ośrodkowa. Ośrodkowość $\mathrm {JL} _{2}^{*}$ w *-słabej topologii wynika również z faktu, że operator inkluzji $T\colon \mathrm {JL} _{2}\to \ell _{\infty }$ jest ciągły oraz operator sprzężony $T^{*}\colon \ell _{\infty }^{*}\to \mathrm {JL} _{2}^{*}$ jest ciągły względem *-słabych topologii. Istotnie, $\mathrm {JL} _{2}^{*}$ jest obrazem poprzez $T^{*}$ przestrzeni $\ell _{\infty }^{*},$ która jest ośrodkowa w *-słabej topologii (z twierdzenia Goldstine’a wynika, że $\ell _{1}$ jest *-słabo gęste w $\ell _{\infty }^{*};$ z ośrodkowości $\ell _{1}$ wynika ośrodkowość $\ell _{\infty }^{*}$ w *-słabej topologii). W szczególności, każdy zbiór słabo zwarty w $\mathrm {JL} _{2}$ jest ośrodkowy. Oznacza to, że $\mathrm {JL} _{2}$ nie jest WCG, gdyż jest nieośrodkowa ponieważ zawiera nieprzeliczalny zbiór dyskretny (na przykład, rodzina funkcji charakterystycznych zbiorów z rodziny ℬ jest nieprzeliczalnym zbiorem dyskretnym).

Istnieje izomorfizm

$\mathrm {JL} _{2}^{*}\cong \ell _{1}\oplus \ell _{2}({\mathfrak {c}}).$

(2)

Rzeczywiście, niech

$0\longrightarrow c_{0}\longrightarrow \mathrm {JL} _{2}\longrightarrow \ell _{2}({\mathfrak {c}})\longrightarrow 0$

będzie krótkim ciągiem dokładnym, w którym $c_{0}\to \mathrm {JL} _{2}$ jest operatorem inkluzji oraz $\mathrm {JL} _{2}\to \ell _{2}(c)$ jest przektszałceniem ilorazowym na $\mathrm {JL} _{2}/c_{0}\cong \ell _{2}(c).$ Ciąg dualny

$0\longrightarrow \ell _{2}({\mathfrak {c}})\longrightarrow \mathrm {JL} _{2}^{*}\longrightarrow \ell _{1}\longrightarrow 0$

jest również dokładny. Ponieważ $\ell _{1}$ jest projektywną przestrzenią Banacha, ciąg ten się rozszczepia, tzn. zachodzi wzór (2). Przestrzeń $\mathrm {JL} _{2}^{*},$ jako suma dwóch przestrzeni WCG (przestrzeń ośrodkowej i przestrzeni refleksywnej), jest WCG.

Bibliografia

• J.M.F. Castillo, M. González, Three-Space Problems in Banach Space Theory, Lecture Notes in Math., vol. 1667, Springer, Berlin (1997).