Tekst źródłowy strony Klasyczny oscylator harmoniczny

{{Dopracować|źródła=2018-03}}

'''Klasyczny oscylator harmoniczny''' – realizacja modelu [[oscylator harmoniczny|oscylatora harmonicznego]] w ramach [[mechanika klasyczna|mechaniki klasycznej]].

Klasyczny oscylator harmoniczny określa się jako układ w potencjale kwadratowym
: <math>U=\frac{m\omega_0^2}{2}\cdot x^2,</math>

bądź równoważnie jako układ, w którym działa [[siła]] <math>\vec F</math> przeciwnie skierowana do wychylenia układu od położenia równowagi i proporcjonalna do wychylenia
: <math>\vec F = - k \vec x, </math>
gdzie k - [[współczynnik proporcjonalności]].

== Jednowymiarowe oscylatory harmoniczne ==
=== Definicja oscylatora harmonicznego ===
Jednowymiarowym oscylatorem harmonicznym jest każdy [[układ fizyczny]], którego zachowanie można opisać równaniem zwanym '''równaniem oscylatora harmonicznego'''
: <math>a(t)+ \omega_0^2 x(t) = 0,</math>

gdzie:
: <math>a(t)</math> – [[przyspieszenie]] zależne od czasu,
: <math>x(t)</math> – położenie zależne od czasu,
: <math>\omega_0</math> – częstość kołowa drgań oscylatora.

Związek ten można zapisać jawnie jako liniowe [[równanie różniczkowe]]
: <math>\frac{d^2x(t)}{dt^2} + \omega_0^2 x(t) = 0</math>

lub korzystając z konwencji stosowanej w mechanice, gdzie pochodną po czasie oznacza się kropką
: <math>\ddot x + \omega_0^2 x = 0.</math>

Model opisywany powyższym równaniem nazywa się też czasem '''prostym oscylatorem harmonicznym'''. Każdy układ, którego równanie można sprowadzić do powyższego, określa się w skrócie jako oscylator harmoniczny.

==== Rozwiązanie równania oscylatora ====
Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego można zapisać w jednej z poniższych równoważnych postaci
# <math>x(t)= A \sin(\omega_0 t) +B \cos(\omega_0 t)</math>
# <math>x(t)= C \sin(\omega_0 t+\varphi)</math>
# <math>x(t)= D \cos(\omega_0 t+\varphi')</math>
# <math>x(t)= F e^{ i \omega_0 t} + G e^{ - i \omega_0 t},</math>

gdzie <math>A,B,C,\varphi,D,\varphi', F, G</math> to stałe zależne od warunków początkowych.

Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z [[Tożsamości trygonometryczne|tożsamości trygonometrycznych]] można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1, 2 lub 3.

<math>\omega_0</math> jest [[pulsacja|częstością kołową]] oscylatora harmonicznego. [[Okres (fizyka)|Okres]] drgań <math>T</math> wynosi
: <math>T=\frac{2\pi}{\omega_0},</math>

natomiast [[częstotliwość]] drgań <math>\nu</math> wynosi
: <math>\nu=\frac{\omega_0}{2\pi}.</math>

==== Lagranżjan oscylatora ====
[[Lagranżjan]] oscylatora harmonicznego ma postać
: <math>\mathcal{L}= \frac{m\dot q^2}{2}-\frac{m\omega_0^2q^2}{2},</math>

gdzie:
: <math>\dot q</math> – prędkość [[Współrzędne uogólnione|uogólniona]],
: <math>q</math> – położenie uogólnione.

Reszta oznaczeń bez zmian.

==== Hamiltonian oscylatora harmonicznego ====
[[Hamiltonian]] oscylatora harmonicznego ma postać
: <math>H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m\omega_0^2q^2}{2},</math>

gdzie:
: <math>p</math> – pęd uogólniony,
: <math>q</math> – położenie uogólnione.

== Przykłady oscylatorów ==
=== Wahadło matematyczne ===
Równanie ruchu [[Wahadło|wahadła matematycznego]] ma postać 
: <math>ml\ddot \theta= -mg\sin\theta</math>,

gdzie:
: <math>\theta </math> - kąt odchylenia wahadła od pionu (od dolnego położeniu równowagi),
: <math>\ddot \theta</math> – [[przyspieszenie kątowe]] wahadła, równe drugiej pochodnej kąta <math>\theta</math> względem czasu,
: <math>l</math> – długość wahadła,
: <math>g</math> – [[przyspieszenie ziemskie]].

Dla małych kątów <math>\theta, \; \sin\theta\approx \theta, </math> a równanie przyjmuje postać równania oscylatora harmonicznego
: <math>\ddot \theta + \omega_0^2 \theta = 0</math>
gdzie
: <math>\omega_0^2 = \frac g l</math>.

=== Ciało na sprężynie ===
{{Osobny artykuł|Masa na sprężynie}}
[[Plik:Harmonic oscillator.svg|thumb|250px|Ciężarek o masie ''m'' na sprężynie]]
Ciało o masie <math>m,</math> przymocowane do sprężyny i poruszające się bez tarcia i oporu powietrza po poziomej powierzchni, wykonuje oscylacje harmoniczne, jeżeli [[amplituda]] ruchu nie przekracza zakresu sprężystości sprężyny. Wtedy bowiem [[siła sprężystości]] jest proporcjonalna do wychylenia <math>x</math>
: <math>\vec F= -k\cdot \vec x.</math>

Z [[Zasady dynamiki Newtona|II zasady dynamiki]] Newtona można obliczyć [[przyspieszenie]] <math>\vec a=\frac{\vec F}{m}.</math> Przyjmując, że ruch odbywa się wzdłuż osi <math>x,</math> otrzymuje się równanie oscylatora harmonicznego
: <math>a(t) +\frac k m x(t)=0,</math>

gdzie:
: <math>x</math> – wychylenie ciężarka z położenia równowagi,
: <math>a</math> – przyspieszenie ciężarka,
: <math>m</math> – masa ciężarka,
: <math>k</math> – stałą sprężystości sprężyny.

Dla ciężarka o masie <math>m</math> wiszącego na sprężynie w stałym polu grawitacyjnym <math>g</math> i wykonującym drgania pionowe, częstotliwość kołowa ma taką samą wartość jak poprzednio rozpatrywanego obciążnika, charakter ruchu jest dokładnie taki sam. Jedyne co się zmienia to położenie równowagi.

== Oscylator harmoniczny tłumiony ==
W rzeczywistości przedstawiony powyżej model jest sytuacją wyidealizowaną, gdyż w układzie fizycznym zazwyczaj występują [[tarcie (fizyka)|siły tarcia]], [[opór ruchu|oporu]] lub innego rodzaju [[tłumienie]]. Jeżeli prędkość drgań jest niewielka, to tłumienie jest proporcjonalne do chwilowej prędkości oscylatora. Równanie ruchu tak tłumionego oscylatora ma postać
: <math>\frac{d^2x}{dt^2} + 2 \beta \frac{dx}{dt} + \omega_o^2 x = 0,</math>
gdzie <math> \beta</math> - współczynnik tłumienia.

Tłumienie powoduje wykładniczy zanik drgań, jeśli <math> \tfrac{\beta}{\omega_0}\ge 1</math> (por. [[tłumienie]]). Gdy wielkość ta jest mniejsza od 1, to oscylator nadal wykonuje oscylacje, ale o zanikającej amplitudzie i częstotliwości mniejszej od częstotliwości drgań swobodnych.

== Oscylator harmoniczny wymuszony ==
Oscylator może być poddany działaniom sił zewnętrznych. 
: <math>\frac{d^2x}{dt^2} + 2 \beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = \frac{1}{m}f(t),</math>

gdzie:
: <math>\omega_0</math> – częstość [[Drgania swobodne|drgań]] swobodnych oscylatora,
: m - masa oscylatora.

Siłę wymuszającą okresowo zmienną można przedstawić w postaci [[Szereg Fouriera|szeregu Fouriera]]  funkcji harmonicznych  kosinus i sinus o częstotliwościach będących wielokrotnościami częstotliwości zmian siły wymuszającej:<math>f(t)= \sum_{n=1}^\infty   a_n\cos(n \omega t) + b_n \sin(n \omega t)</math>

gdzie <math>\omega</math> – częstość siły wymuszającej.

Analizę równania oscylatora z siłą wymuszającą można ograniczyć do analizy równania postaci
: <math>\frac{d^2x}{dt^2} + 2 \beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = A_n \cos(n \omega t),</math>

gdzie:
: <math>A_n=\frac{a_n}{m}</math> – amplituda siły wymuszającej podzielona przez masę oscylatora,
: <math>\beta</math> – współczynnik tłumienia.

Analogiczne równanie jest dla składowych harmonicznych sinusowych. Rozwiązanie ruchu oscylatora w przypadku siły okresowej <math>f(t)</math> jest sumą rozwiązań  otrzymanych dla jej poszczególnych składowych harmonicznych kosinus i sinus, o amplitudach równych współczynnikom <math>A_n</math> oraz <math>B_n= b_n/m</math>.

== Zobacz też ==
* [[kwantowy oscylator harmoniczny]]
* [[wahadło]]

{{Mechanika klasyczna}}
{{Równania różniczkowe}}

[[Kategoria:Dynamika]]
[[Kategoria:Ruch drgający i falowy]]