Opis
Display
01) Coordinate time (GM/c^3) 11) BL r coordinate (GM/c^2) 21) Radius of gyration (GM/c^2) 31) Observed framedragging rate (c^3/G/M)
02) Affine parameter (GM/c^3) 12) BL φ coordinate (radians) 22) Cartesian radius (GM/c^2) 32) Local framedragging velocity (c)
03) 1st derivative (dt/dτ) 13) BL θ coordinate (radians) 23) BH Irreducible mass (M) 33) Cartesian framedragging velocity (c)
04) Grav. time dilation (dt/dτ) 14) dr/dτ (c) 24) Kinetic energy (hf) 34) Proper velocity (c, dl/dτ)
05) Local energy (dt/dτ, mc^2) 15) dφ/dτ (c^3/G/M) 25) Potential energy (hf) 35) Observed velocity (c, d{x,y,z}/dt)
06) Cartesian radius (GM/c^2) 16) dθ/dτ (c^3/G/M) 26) Total energy (hf) 36) Escape velocity (c)
07) x Axis (GM/c^2) 17) d^2r/dτ^2 (c^6/G/M) 27) Carter constant (GMhf/c^3) 37) Local r velocity (c)
08) y Axis (GM/c^2) 18) d^2φ/dτ^2 (c^6/G^2/M^2) 28) φ angular momentum (GMhf/c^3) 38) Local θ velocity (c)
09) z Axis (GM/c^2) 19) d^2θ/dτ^2 (c^6/G^2/M^2) 29) θ angular momentum (GMhf/c^3) 39) Local φ velocity (c)
10) travelled distance (GM/c^2) 20) Spin parameter (GM^2/c) 30) Radial momentum (hf/c) 40) Total local velocity (c)
Equations of motion
All formulas come in natural units:
G
=
M
=
c
=
1
{\displaystyle {\rm {G=M=c=1}}}
Coordinate time by proper time (dt/dτ):
t
˙
=
2
E
r
(
a
2
+
r
2
)
−
2
a
L
z
r
Δ
Σ
+
E
=
ς
1
−
v
2
{\displaystyle {\rm {{\dot {t}}={\frac {2\ E\ r\ \left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ L_{z}\ r}{\Delta \ \Sigma }}+E={\frac {\varsigma }{\sqrt {1-v^{2}}}}}}}
Radial coordinate time derivative (dr/dτ):
r
˙
=
Δ
p
r
Σ
{\displaystyle {\rm {{\dot {r}}={\frac {\Delta \ p_{r}}{\Sigma }}}}}
Time derivative of the covariant momentum's r-component (pr/dτ):
p
˙
r
=
(
r
−
1
)
(
μ
(
a
2
+
r
2
)
−
k
)
+
2
E
2
r
(
a
2
+
r
2
)
−
2
a
E
L
z
+
Δ
μ
r
Δ
Σ
−
2
p
r
2
(
r
−
1
)
Σ
{\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{r}={\frac {(r-1)\left(\mu \ \left(a^{2}+r^{2}\right)-k\right)+2\ E^{2}\ r\left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ E\ L_{z}+\Delta \ \mu \ r}{\Delta \ \Sigma }}-{\frac {2\ p_{r}^{2}\ (r-1)}{\Sigma }}}}}
Relation to the local velocity:
p
r
=
v
r
1
+
μ
v
2
Σ
Δ
{\displaystyle {\rm {p_{r}={\frac {v_{r}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}{\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}}}}
Latitudinal time derivative (dθ/dτ):
θ
˙
=
p
θ
Σ
{\displaystyle {\rm {{\dot {\theta }}={\frac {p_{\theta }}{\Sigma }}}}}
Time derivative of the covariant momentum's θ-component (pθ/dτ):
p
˙
θ
=
sin
θ
cos
θ
(
L
z
2
/
sin
4
θ
−
a
2
(
E
2
+
μ
)
)
Σ
{\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{\theta }={\frac {\sin \theta \ \cos \theta \left(L_{z}^{2}/\sin ^{4}\theta -a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)\right)}{\Sigma }}}}}
Relation to the local velocity:
p
θ
=
v
θ
Σ
1
+
μ
v
2
{\displaystyle {\rm {p_{\theta }={\frac {v_{\theta }\ {\sqrt {\Sigma }}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}}}}
Longitudinal time derivative (dФ/dτ):
ϕ
˙
=
2
a
E
r
+
L
z
csc
2
θ
(
Σ
−
2
r
)
Δ
Σ
{\displaystyle {\rm {{\dot {\phi }}={\frac {2\ a\ E\ r+L_{z}\ \csc ^{2}\theta \ (\Sigma -2r)}{\Delta \ \Sigma }}}}}
Time derivative of the covariant momentum's Ф-component (pФ/dτ):
p
˙
ϕ
=
0
{\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{\phi }=0}}}
Carter-constant (I is the orbital inclination angel):
Q
=
p
θ
2
+
cos
2
θ
(
a
2
(
μ
2
−
E
2
)
+
L
z
2
sin
2
θ
)
=
a
2
(
μ
2
−
E
2
)
sin
2
I
+
L
z
2
tan
2
I
{\displaystyle {\rm {Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}I+L_{z}^{2}\ \tan ^{2}I}}}
Carter k (constant):
k
=
a
2
(
E
2
+
μ
)
+
L
z
2
+
Q
{\displaystyle {\rm {k=a^{2}\left(E^{2}+\mu \right)+L_{z}^{2}+Q}}}
Total energy (constant):
E
=
(
Σ
−
2
r
)
(
θ
˙
2
Δ
Σ
+
r
˙
2
Σ
−
Δ
μ
)
Δ
Σ
+
ϕ
˙
2
Δ
sin
2
θ
=
Δ
Σ
(
1
+
μ
v
2
)
χ
+
Ω
L
z
{\displaystyle {\rm {E={\sqrt {{\frac {(\Sigma -2\ r)\left({\dot {\theta }}^{2}\ \Delta \ \Sigma +{\dot {r}}^{2}\ \Sigma -\Delta \ \mu \right)}{\Delta \ \Sigma }}+{\dot {\phi }}^{2}\ \Delta \ \sin ^{2}\theta }}={\sqrt {\frac {\Delta \ \Sigma }{(1+\mu \ v^{2})\ \chi }}}+\Omega \ L_{z}}}}
Angular momentum on the Ф-axis (constant):
L
z
=
sin
2
θ
(
ϕ
˙
Δ
Σ
−
2
a
E
r
)
Σ
−
2
r
=
v
ϕ
R
¯
1
+
μ
v
2
{\displaystyle {\rm {L_{z}={\frac {\sin ^{2}\theta \ ({\dot {\phi }}\ \Delta \ \Sigma -2\ a\ E\ r)}{\Sigma -2\ r}}={\frac {v_{\phi }\ {\bar {R}}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}}}}
with the radius of gyration
R
¯
=
χ
Σ
sin
θ
{\displaystyle {\rm {{\bar {R}}={\sqrt {\frac {\chi }{\Sigma }}}\ \sin \theta }}}
Frame Dragging angular velocity (dФ/dt):
ω
=
2
a
r
χ
{\displaystyle {\rm {\omega ={\frac {2\ a\ r}{\chi }}}}}
Gravitational time dilation (dt/dτ):
ς
=
χ
Δ
Σ
{\displaystyle {\rm {\varsigma ={\sqrt {\frac {\chi }{\Delta \ \Sigma }}}}}}
Local velocity on the r-axis:
v
r
1
+
μ
v
2
=
r
˙
Σ
Δ
{\displaystyle {\rm {{\frac {v_{r}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}={\dot {r}}\ {\sqrt {\frac {\Sigma }{\Delta }}}}}}
Local velocity on the θ-axis:
v
θ
Σ
1
+
μ
v
2
=
θ
˙
Σ
{\displaystyle {\rm {{\frac {v_{\theta }\ {\sqrt {\Sigma }}}{\sqrt {1+\mu \ v^{2}}}}={\dot {\theta }}\ \Sigma }}}
Local velocity on the Ф-axis:
v
ϕ
1
+
μ
v
2
=
L
z
R
¯
ϕ
{\displaystyle {\frac {\rm {v_{\phi }}}{\sqrt {1+\mu \ {\rm {v^{2}}}}}}={\frac {\rm {L_{z}}}{\rm {{\bar {R}}_{\phi }}}}}
with the cartesian coordinates:
x
=
r
2
+
a
2
sin
θ
cos
ϕ
,
y
=
r
2
+
a
2
sin
θ
sin
ϕ
,
z
=
r
cos
θ
{\displaystyle {\rm {x={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \ \cos \phi \ ,\ y={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \ \sin \phi \ ,\ z=r\cos \theta \quad }}}
The observed velocity β is given by:
β
=
(
d
x
/
d
t
)
2
+
(
d
y
/
d
t
)
2
+
(
d
z
/
d
t
)
2
{\displaystyle {\rm {\beta ={\sqrt {(dx/dt)^{2}+(dy/dt)^{2}+(dz/dt)^{2}}}}}}
The local escape velocity is given by the relation:
ς
=
1
/
1
−
v
e
s
c
2
→
v
e
s
c
=
ς
2
−
1
/
ς
{\displaystyle {\rm {\varsigma =1/{\sqrt {1-v_{\rm {esc}}^{2}}}\ \to \ v_{\rm {esc}}={\sqrt {\varsigma ^{2}-1}}/\varsigma }}}
Shorthand Terms:
Σ
=
a
2
cos
2
θ
+
r
2
,
Δ
=
a
2
+
r
2
−
2
r
,
χ
=
(
a
2
+
r
2
)
2
−
a
2
sin
2
θ
Δ
{\displaystyle {\rm {\Sigma =a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\ ,\ \ \Delta =a^{2}+r^{2}-2r\ ,\ \ \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\ \sin ^{2}\theta \ \Delta }}}
Sources: [ 1] [ 2] [ 3] [ 4] [ 5] [ 6]
References
↑ Pu, Yun, Younsi & Yoon: General-relativistic radiative transfer in Kerr spacetime , p. 2+
↑ Janna Levin & Gabe Perez-Giz: A Periodic Table for Black Hole Orbits , p. 30+
↑ Scott A. Hughes: Nearly horizon skimming orbits of Kerr black holes , p. 5+
↑ Janna Levin & Gabe Perez-Giz: The Phase Space Portrait , p. 2+
↑ Misner, Thorne & Wheeler (MTW): The Bible archive copy at the Wayback Machine , p. 897+
↑ Simon Tyran: Kerr Orbits / Gravitationslinsen
Licencja
Ja, właściciel praw autorskich do tego dzieła, udostępniam je na poniższej licencji
Wolno:
dzielić się – kopiować, rozpowszechniać, odtwarzać i wykonywać utwór
modyfikować – tworzyć utwory zależne
Na następujących warunkach:
uznanie autorstwa – musisz określić autorstwo utworu, podać link do licencji, a także wskazać czy utwór został zmieniony. Możesz to zrobić w każdy rozsądny sposób, o ile nie będzie to sugerować, że licencjodawca popiera Ciebie lub Twoje użycie utworu.
na tych samych warunkach – Jeśli zmienia się lub przekształca niniejszy utwór, lub tworzy inny na jego podstawie, można rozpowszechniać powstały w ten sposób nowy utwór tylko na podstawie tej samej lub podobnej licencji . https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0 CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 true true
File usage
187
189
8
8
758
500
inner ergosphere and ring singularity
polski Dodaj jednolinijkowe objaśnienie tego, co ten plik pokazuje
angielski Photon orbit around an extremal Kerr black hole
niemiecki Photonenorbit um ein maximal rotierendes schwarzes Loch