Forma rachunkowa (Hausbrandta)

Forma rachunkowa (Hausbrandta), zwana również symbolem rachunkowym znacznie ułatwia i systematyzuje obliczenia wykonywane za pomocą kalkulatora. Wiele zadań wykazuje pewne powtarzające się działania, możliwe do ujednolicenia i usprawnienia w wyniku zastosowania form rachunkowych wprowadzonych w tym celu przez Stefana Hausbrandta. Podstawowym pojęciem w symbolice Hausbrandta jest forma pojedyncza, stanowiąca czteroelementowy zespół liczb, ujętych w prostokątna tabelę. Forma ta jest tylko sposobem zapisu liczb i nie określa żadnych działań matematycznych prowadzących do wyznaczenia konkretnej liczby. Są one możliwe po ustaleniu określonej funkcji formy rachunkowej.

Przez funkcję formy rachunkowej rozumie się zastosowanie działań matematycznych przypisanych do danej formy.

W latach 1950–1960 formy rachunkowe Hausbrandta usprawniały obliczenia geodezyjne w Polsce przy opracowywaniu i zakładaniu sieci triangulacyjnych.

Formy podstawowe

• Forma pojedyncza (forma rachunkowa prosta)

$f={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$

• Forma pierwsza

$f_{1}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}_{1}=a\cdot d-b\cdot c$

• Forma druga

$f_{2}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}_{2}=a\cdot c+b\cdot d$

Formy uzupełniające

• Forma zerowa

$f_{0}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}_{0}={\frac {f_{1}}{f_{2}}}={\frac {a\cdot d-b\cdot c}{a\cdot c+b\cdot d}}$

• Forma pierwsza dolna zwykła (okrągła)

$f_{(1)}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}_{(1)}={\frac {f_{1}}{c+d}}={\frac {a\cdot d-b\cdot c}{c+d}}$

• Forma druga dolna zwykła (okrągła)

$f_{(2)}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}_{(2)}={\frac {f_{2}}{c+d}}={\frac {a\cdot c+b\cdot d}{c+d}}$

• Forma pierwsza górna zwykła (okrągła)

$f^{(1)}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}^{(1)}={\frac {f_{1}}{a+b}}={\frac {a\cdot d-b\cdot c}{a+b}}$

• Forma druga górna zwykła (okrągła)

$f^{(2)}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}^{(2)}={\frac {f_{2}}{a+b}}={\frac {a\cdot c+b\cdot d}{a+b}}$

• Forma pierwsza dolna kwadratowa

$f_{[1]}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}_{[1]}={\frac {f_{1}}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {a\cdot d-b\cdot c}{c^{2}+d^{2}}}$

• Forma druga dolna kwadratowa

$f_{[2]}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}_{[2]}={\frac {f_{2}}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {a\cdot c+b\cdot d}{c^{2}+d^{2}}}$

• Forma pierwsza górna kwadratowa

$f^{[1]}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}^{[1]}={\frac {f_{1}}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a\cdot d-b\cdot c}{a^{2}+b^{2}}}$

• Forma druga górna kwadratowa

$f^{[2]}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}^{[2]}={\frac {f_{2}}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a\cdot c+b\cdot d}{a^{2}+b^{2}}}$

Formy rachunkowe wielokrotne

Forma rachunkowa wielokrotna (forma rachunkowa złożona) składa się z dwóch lub większej ilości form rachunkowych prostych zapisanych obok siebie.
$F={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{vmatrix}}\ldots {\begin{vmatrix}a_{n}&b_{n}\\c_{n}&d_{n}\end{vmatrix}}$
Uwaga: Podwójną kreskę macierzy można zastąpić pojedynczą.

$F_{1}=a_{1}\cdot d_{1}-b_{1}\cdot c_{1}+a_{2}\cdot d_{2}-b_{2}\cdot c_{2}+\ldots +a_{n}\cdot d_{n}-b_{n}\cdot c_{n}$

$F_{2}=a_{1}\cdot c_{1}+b_{1}\cdot d_{1}+a_{2}\cdot c_{2}+b_{2}\cdot d_{2}+\ldots +a_{n}\cdot c_{n}+b_{n}\cdot d_{n}$

$F_{0}={\frac {F_{1}}{F_{2}}}={\frac {a_{1}\cdot d_{1}-b_{1}\cdot c_{1}+a_{2}\cdot d_{2}-b_{2}\cdot c_{2}+\ldots +a_{n}\cdot d_{n}-b_{n}\cdot c_{n}}{a_{1}\cdot c_{1}+b_{1}\cdot d_{1}+a_{2}\cdot c_{2}+b_{2}\cdot d_{2}+\ldots +a_{n}\cdot c_{n}+b_{n}\cdot d_{n}}}$

$F_{(1)}={\frac {F_{1}}{\sum \limits _{i=1}^{n}(c_{i}+d_{i})}}$

$F_{(2)}={\frac {F_{2}}{\sum \limits _{i=1}^{n}(c_{i}+d_{i})}}$

$F^{(1)}={\frac {F_{1}}{\sum \limits _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})}}$

$F^{(2)}={\frac {F_{2}}{\sum \limits _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})}}$

$F_{[1]}={\frac {F_{1}}{\sum \limits _{i=1}^{n}(c_{i}^{2}+d_{i}^{2})}}$

$F_{[2]}={\frac {F_{2}}{\sum \limits _{i=1}^{n}(c_{i}^{2}+d_{i}^{2})}}$

$F^{[1]}={\frac {F_{1}}{\sum \limits _{i=1}^{n}(a_{i}^{2}+b_{i}^{2})}}$

$F^{[2]}={\frac {F_{2}}{\sum \limits _{i=1}^{n}(a_{i}^{2}+b_{i}^{2})}}$

Przykłady

• Obliczenie kąta $\gamma$ trójkąta ABC ze współrzędnych:

$\operatorname {tg} \gamma ={\begin{vmatrix}\Delta X_{CB}&\Delta Y_{CB}\\\Delta X_{CA}&\Delta Y_{CA}\end{vmatrix}}_{0}$

• Obliczenie współrzędnych wierzchołka C.

$(X_{C},Y_{C})={\begin{array}{|cc|cc|}X_{A}&Y_{A}&X_{B}&Y_{B}\\-1&\operatorname {ctg} \,\beta &+1&\operatorname {ctg} \,\alpha \end{array}}_{(1,2)}$

$X_{C}$ liczymy formą pierwszą dolną zwykłą, a $Y_{C}$ liczymy formą drugą dolną zwykłą i otrzymujemy:

${\begin{aligned}X_{C}&={\frac {+X_{A}\cdot \operatorname {ctg} \beta +Y_{A}+X_{B}\cdot \operatorname {ctg} \alpha -Y_{B}}{\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }}\\Y_{C}&={\frac {-X_{A}+Y_{A}\cdot \operatorname {ctg} \beta +X_{B}+Y_{B}\cdot \operatorname {ctg} \alpha }{\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta }}\end{aligned}}$

Bibliografia

• Ćwiczenia z geodezji I, JózefJ. Beluch, Kraków: AGH Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, 2007, ISBN 978-83-7464-043-5, OCLC 749598236 .brak strony (książka)
• ZdzisławZ. Adamczewski ZdzisławZ., Rachunek wyrównawczy w 15 wykładach, Warszawa: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2007, ISBN 978-83-7207-688-5, OCLC 749638434 .brak strony (książka)
• Aleksander Skórczyński, Podstawy obliczeń geodezyjnych, Uczelnia Warszawska im. Marii Skłodowskiej-Curie, ISBN 978-83-923588-1-7.
• AndrzejA. Jagielski AndrzejA., Geodezja I, Kraków: P.W.STABILL, 2002, ISBN 83-88195-21-2, OCLC 749301633 .brak strony (książka)
• Jan Ruchel: Formy rachunkowe (Hausbrandta). [dostęp 2010-02-01]. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-03-04)]. (pol.).