Funkcja addytywna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy własności funkcji o argumentach liczbowych. Zobacz też: addytywność funkcji zbioru oraz addytywność w fizyce.

Funkcja addytywnafunkcja która jest homomorfizmem struktury addytywnej rozważanych obiektów (pierścieni, ciał czy też przestrzeni liniowych). W teorii liczb jednak rozważa się całkowicie inną własność funkcji określaną tym samym terminem.

Definicje[edytuj]

Addytywność w algebrze i analizie[edytuj]

Niech oraz będą grupami abelowymi.

  • Powiemy, że funkcja jest addytywna jeśli
dla wszystkich .
O addytywnych funkcjach rzeczywistych mówimy też, że spełniają równanie funkcyjne Cauchy’ego.
  • Jeśli grupa jest grupą liniowo uporządkowaną przez relację to funkcję nazwiemy podaddytywną jeśli
dla wszystkich .
Powyższe pojęcie jest rozważane głównie gdy jest grupą addytywną liczb rzeczywistych (z naturalnym porządkiem).

Addytywność w teorii liczb[edytuj]

Teoria liczb posiada własną definicją addytywności. Funkcja jest funkcją addytywną, gdy dla wszystkich względnie pierwszych liczb zachodzi

.

Jeżeli powyższy związek zachodzi dla dowolnych liczb oraz , to funkcję nazywa się całkowicie addytywną.

Przykładem funkcji całkowicie addytywnej jest równa liczbie czynników w rozkładzie na czynniki pierwsze. Przykładem funkcji addytywnej, ale nie całkowicie addytywnej, jest równa liczbie różnych liczb pierwszych dzielących . Wszystkie monotoniczne funkcje addytywne są wielokrotnościami logarytmu. Jeśli jest funkcją multiplikatywną i dodatnią, to jest funkcją addytywną.

Własności[edytuj]

Poniżej, mówiąc o funkcjach addytywnych myślimy o addytywności w sensie homomorfizmów grup addytywnych.

  • Z zasady indukcji matematycznej można wnioskować, iż dla każdej addytywnej funkcji zachodzi
dla wszystkich , .

Stąd też, powyższą własność nazywa się skończoną addytywnością, a funkcje addytywne nazywamy też funkcjami skończenie addytywnymi.

  • Załóżmy, że funkcja addytywna spełnia jeden z następujących warunków:
(a) jest ciągła w przynajmniej jednym punkcie, lub
(b) jest monotoniczna na pewnym przedziale, lub
(c) jest ograniczona na pewnym przedziale.
Wówczas dla wszystkich (to znaczy, jest funkcją jednorodną).

Pierwszy wynik powyższej postaci był uzyskany przez Augustina Cauchy’ego[1].

  • W 1905, Georg Hamel[2] udowodnił, że jeśli założymy AC, to istnieją funkcje addytywne które nie są ciągłe.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Augustin Cauchy: Cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique, 1. Analyse alg´ebrique, V. Paris: 1821.
  2. Georg Hamel. Eine Basis al ler Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung . „Math. Ann.”. 60, s. 459–462, 1905.