Tekst źródłowy strony Funkcje trygonometryczne

{{wyróżnienie|DA}}
{{Grafika rozwinięta
| kierunek = vertical
| szerokość = 180

| grafika1 = Sin proportional.svg
| opis1 = '''sinusoida''' – wykres funkcji <math>y = \sin x</math>
| grafika2 = Cos proportional.svg
| opis2 = '''kosinusoida''' – wykres funkcji <math>y = \cos x</math>
| grafika3 = Tan proportional.svg
| opis3 = '''tangensoida''' – wykres funkcji <math>y = \operatorname{tg} x</math>
}}
[[Plik:Leonhard Euler.jpg|mały|[[Leonhard Euler]] (1707–1783) – [[Szwajcarzy|szwajcarski]] matematyk, który udowodnił pewne własności funkcji trygonometrycznych, m.in. ich związek z [[Funkcja wykładnicza|funkcją wykładniczą]]<ref name="epwn" /> nazywany [[Wzór Eulera|wzorem Eulera]].]]

'''Funkcje trygonometryczne''' – [[Funkcja|funkcje matematyczne]] wyrażające między innymi [[Stosunek (matematyka)|stosunki]] długości boków [[Trójkąt prostokątny|trójkąta prostokątnego]] zależnie od [[Miara kąta|miary]] jego [[Kąt wewnętrzny|kątów wewnętrznych]]. Funkcje te wywodzą się z [[Geometria|geometrii]], konkretniej [[Planimetria|planimetrii]], ale są rozważane także w oderwaniu od niej, dla różnych [[Argument funkcji|argumentów]] [[Liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] i [[Liczby zespolone|zespolonych]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3989520 | tytuł = Funkcje trygonometryczne | data dostępu = 2023-12-12}}</ref>. To [[uogólnienie]] funkcji trygonometrycznych umożliwiła [[analiza matematyczna]], w której opisano je [[Szereg potęgowy|szeregami potęgowymi]]<ref name="epwn" />. Powstały też inne definicje, oparte np. na [[Równanie różniczkowe|równaniach różniczkowych]], innych [[Równanie funkcyjne|równaniach funkcyjnych]], [[Iloczyn nieskończony|iloczynach nieskończonych]] oraz [[Ułamek łańcuchowy|ułamkach łańcuchowych]], podane w dalszych sekcjach.

Do funkcji trygonometrycznych zalicza się przede wszystkim '''sinus''', '''kosinus'''<ref name="pisownia" group="uwaga">używa się też innej pisowni, przez ''c'', co opisano dalej.</ref> i '''tangens''', a także kotangens, sekans, kosekans<ref name="pisownia" group="uwaga" /><ref name="epwn" /> i kilka innych, wspominanych rzadziej. Funkcje trygonometryczne to główny przedmiot badań [[Trygonometria|trygonometrii]]; jej dział poświęcony tym funkcjom nazywano [[Goniometria|goniometrią]]<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3906662 | tytuł = goniometria | data dostępu = 2023-12-12 }}</ref>, przy czym termin ten ma też inne znaczenia. Badania te rozpoczęto w [[Starożytność|starożytności]], a konkretniej [[Starożytna Grecja|starożytnej Grecji]], po czym rozwijali ją uczeni [[Indie|indyjscy]], [[islam]]scy<ref name="epwn" /> i ze [[Średniowiecze|średniowiecznej]] Europy<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3966700 | tytuł = Regiomontanus | data dostępu = 2023-12-12}}</ref>. W czasach [[Nowożytność|nowożytnych]] podano dla tych funkcji:
* rozwinięcia w szeregi potęgowe,
* uogólnienia na argumenty zespolone,
* związki z [[Funkcja wykładnicza|funkcją wykładniczą]] takie jak [[wzór Eulera]]<ref name="epwn" />,
* rozwinięcia w iloczyny nieskończone.

Pierwotnie [[Matematyk|matematycy]] uważali wartości trygonometryczne za linie ciągłe połączone [[Okrąg|okręgami]], jednak w XVIII wieku [[Leonhard Euler]] wprowadził współczesne pojęcie funkcji trygonometrycznych<ref>{{Cytuj książkę |imię=Hans Niels |nazwisko=Jahnke |tytuł = A history of analysis |data = 2003 |data dostępu = 2021-07-19 |isbn = 0-8218-2623-9 |miejsce = Providence, RI |wydawca = American Mathematical Society |oclc = 51607350 |strony = 115-116}}</ref>. Na przestrzeni stuleci podano dziesiątki [[Tożsamości trygonometryczne|tożsamości trygonometrycznych]], które m.in. wiążą te funkcje ze sobą.

Funkcje trygonometryczne zalicza się do [[Funkcje elementarne|elementarnych]] i stosuje w różnych działach [[Matematyka|matematyki]] jak geometria, analiza i [[teoria liczb]]. Z funkcji tych korzystają też inne [[nauki ścisłe]] – zarówno [[Nauki przyrodnicze|przyrodnicze]], [[Nauki społeczne|społeczne]], jak i [[Nauki techniczne|techniczne]]. Jednym z powodów jest to, że funkcjami sinus i kosinus można modelować zjawiska [[Funkcja okresowa|okresowe]] jak [[drgania]] mechaniczne<ref name="epwn" />.

== Definicje ==
Istnieje kilka definicji funkcji trygonometrycznych, bazujących zarówno na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.

=== Przez trójkąt prostokątny ===
[[Plik:Trigonometria 01a.svg|thumb|250px|Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicji]]
Funkcje trygonometryczne danego kąta ostrego w trójkącie prostokątnym definiuje się jako stosunek długości odpowiednich dwóch boków tego trójkąta:
{| class="wikitable"
|+
! rowspan="2" |funkcja
! rowspan="2" |polskie
oznaczenie<ref group="uwaga">w innych językach stosuje się inne skróty, opisane w dalszej sekcji.</ref>
! colspan="2" |definicje<ref name="cke">{{Cytuj |tytuł = Wybrane wzory matematyczne |data = 2015 |isbn = 978-83-940902-1-0 |miejsce = Warszawa |wydawca = Centralna Komisja Egzaminacyjna |s = 14 |url = https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informatory/2015/MATURA_2015_Wybrane_wzory_matematyczne.pdf}}</ref>
|-
!przez boki – stosunek długości
!przez inne funkcje
|-
|'''sinus'''
|<math>\sin</math>
|przyprostokątnej <math>a</math> leżącej naprzeciw kąta <math>\alpha</math> i przeciwprostokątnej <math>c</math><ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3975505 | tytuł = sinus | data dostępu = 2023-12-12 }}</ref>
|
|-
|'''kosinus<ref name="pisownia" group="uwaga" />'''
|<math>\cos</math>
|przyprostokątnej <math>b</math> przyległej do kąta <math>\alpha</math> i przeciwprostokątnej <math>c</math><ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3887883 | tytuł = cosinus | data dostępu = 2023-12-12 }}</ref>
|
|-
|'''tangens'''
|<math>\operatorname{tg}</math>
|przyprostokątnej <math>a</math> leżącej naprzeciw kąta <math>\alpha</math> i przyprostokątnej <math>b</math> przyległej do tego kąta<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3985227 | tytuł = tangens | data dostępu = 2023-12-12 }}</ref>
|iloraz sinusa i kosinusa <math>\tfrac\sin\cos</math>
|-
|'''kotangens<ref name="pisownia" group="uwaga" />'''
|<math>\operatorname{ctg}</math>
|przyprostokątnej <math>b</math> przyległej do kąta <math>\alpha</math> i przyprostokątnej <math>a</math> leżącej naprzeciw tego kąta<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3887927 | tytuł = cotangens | data dostępu = 2023-12-12 }}</ref>
|<math>\tfrac{1}{\operatorname{tg}}</math>
|-
|'''sekans<ref name="pisownia" group="uwaga" />'''
|<math>\sec</math>
|przeciwprostokątnej <math>c</math> i przyprostokątnej <math>b</math> przyległej do kąta <math>\alpha</math><ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3973459 | tytuł = secans | data dostępu = 2023-12-12 }}</ref>
|[[Liczba odwrotna|odwrotność]] kosinusa <math>(\tfrac{1}{\cos})</math><ref group="uwaga">nie mylić z funkcją odwrotną <math>\arccos</math></ref>
|-
|'''kosekans<ref name="pisownia" group="uwaga" />'''
|<math>\operatorname{cosec}</math>
|przeciwprostokątnej <math>c</math> i przyprostokątnej <math>a</math> leżącej naprzeciw kąta <math>\alpha</math><ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3887874 | tytuł = cosecans | data dostępu = 2023-12-12 }}</ref>
|odwrotność sinusa <math>(\tfrac{1}{\sin})</math><ref group="uwaga">nie mylić z funkcją odwrotną <math>\arcsin</math></ref>
|}

Powyższe definicje można zebrać w postaci tabelki<ref name="poradnik_230">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=230|loc=(w bibliografii)}}.</ref>:
{| class="wikitable"
|-
!style="padding: 5pt 10pt"|
!style="padding: 5pt 10pt"| <math>\tfrac{a}{\cdot}</math>
!style="padding: 5pt 10pt"| <math>\tfrac{b}{\cdot}</math>
!style="padding: 5pt 10pt"| <math>\tfrac{c}{\cdot}</math>
|-
!style="padding: 5pt 10pt"| <math>\tfrac{\cdot}{a}</math>
|style="padding: 5pt 10pt"| <math>1</math>
|style="padding: 5pt 10pt"| <math>\operatorname{ctg} \alpha</math>
|style="padding: 5pt 10pt"| <math>\operatorname{cosec} \alpha</math>
|-
!style="padding: 5pt 10pt"| <math>\tfrac{\cdot}{b}</math>
|style="padding: 5pt 10pt"| <math>\operatorname{tg} \alpha</math>
|style="padding: 5pt 10pt"| <math>1</math>
|style="padding: 5pt 10pt"| <math>\sec \alpha</math>
|-
!style="padding: 5pt 10pt"| <math>\tfrac{\cdot}{c}</math>
|style="padding: 5pt 10pt"| <math>\sin \alpha</math>
|style="padding: 5pt 10pt"| <math>\cos \alpha</math>
|style="padding: 5pt 10pt"| <math>1</math>
|}

Do tej listy włączano też kilka innych funkcji; ''{{Link-interwiki|Haversin|Q=Q587172|tekst=haversin}}'' upraszcza obliczanie odległości punktów na powierzchni Ziemi<ref name="haversin">{{cytuj książkę |nazwisko = Zwillinger |imię = D. |tytuł = (red.) Spherical Geometry and Trigonometry |seria = CRC Standard Mathematical Tables and Formulae |miejsce = Boca Raton, FL |wydawca = CRC Press |strony = 468-471, § 6.4 |rok = 1995}}</ref><ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Sinnott |imię = Roger W. |tytuł = Virtues of the Haversine |url = http://daimi.au.dk/~dam/thesis/Sky_and_Telescope_1984.pdf |czasopismo = Sky and Telescope |wolumin = 68 |wydanie = 2 |rok = 1984 |język = en |strony = 159| archiwum=https://web.archive.org/web/20131211131658/http://daimi.au.dk/~dam/thesis/Sky_and_Telescope_1984.pdf| zarchiwizowano=2013-12-11}}</ref><ref>{{Cytuj stronę |url = http://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong.html |tytuł = Calculate distance and bearing between two Latitude/Longitude points using Haversine formula in JavaScript |nazwisko = Veness |imię = Chris |opublikowany = www.movable-type.co.uk |język = en |data dostępu = 2013-10-13}}</ref>:
{| class="wikitable"
|+
!funkcja
!symbol i definicja
|-
|'''sinus versus'''<ref>{{MathWorld|adres=Versine|tytuł=Versine|data dostępu=10 stycznia 2009}}</ref><ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3975507 | tytuł = sinus versus | data dostępu = 2023-12-12 }}</ref>
|<math>\operatorname{versin} \alpha=1-\cos \alpha</math>
|-
|'''haversin'''
([[Język angielski|ang.]] ''half of the versine'')<ref>{{MathWorld|adres=Haversine|tytuł=Haversine|data dostępu=10 stycznia 2009}}</ref>
|<math>\operatorname{haversin} \alpha = \tfrac{1}{2} \operatorname{versin} \alpha</math>
|-
|'''cosinus versus'''<ref>{{MathWorld|adres=Coversine|tytuł=Coversine|data dostępu=10 stycznia 2009}}</ref>
|<math>\operatorname{covers} \alpha=1-\sin \alpha</math>
|-
|'''exsecans'''<ref>{{MathWorld|adres=Exsecant|tytuł=Exsecant|data dostępu=10 stycznia 2009}}</ref>
|<math>\operatorname{exsec} \alpha=\sec \alpha-1</math>
|}
<!-- === Definicja za pomocą kąta ===
[[Plik:Trigonometric functions-definition by angle.svg|thumb|300px|Definicja przedstawiona rysunkiem]]

Jeżeli kąt <math>\alpha</math> ustawi się tak, aby jego wierzchołek znalazł się w początku [[Układ współrzędnych kartezjańskich|prostokątnego układu współrzędnych]] <math>O,</math> pierwsze ramię kąta pokrywa się z pierwszą dodatnią [[Oś współrzędnych|półosią układu]], a jego drugie ramię jest dowolną [[Półprosta|półprostą]] leżącą w [[Płaszczyzna|płaszczyźnie]] układu, wychodzącą z punktu <math>O</math> oraz zawierającą pewien punkt <math>M = (a, b)</math> różny od <math>O,</math> to funkcje trygonometryczne miary kąta skierowanego <math>\alpha</math> określa się wzorami<ref>Słownik encyklopedyczny – matematyka (w bibliografii), s. 90.</ref>:
: <math>\sin \alpha =\tfrac{b}{r}</math>
: <math>\cos \alpha =\tfrac{a}{r}</math>
: <math>\operatorname{tg} \alpha =\tfrac{b}{a}</math>
: <math>\operatorname{ctg} \alpha =\tfrac{a}{b}</math>
: <math>\sec \alpha =\tfrac{r}{a}</math>
: <math>\operatorname{cosec} \alpha =\tfrac{r}{b}</math>

gdzie <math>r = |OM|.</math>

Stosunki te nie zależą od położenia punktu <math>M</math> na ramieniu kąta <math>\alpha</math> (wynika to wprost z własności [[Podobieństwo|podobieństwa trójkątów]]).
{{clear}}
-->

=== Przez okrąg jednostkowy i etymologia nazw === <!--Do tej nazwy sekcji odwołują się linki wewnętrzne-->
[[Plik:Circle-trig6 pl.svg|thumb|300px|Definicja na okręgu jednostkowym]]

<!--[[Plik:Unit circle angles.svg|thumb|300px|Niektóre punkty na okręgu jednostkowym]]
-->
Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. [[okrąg jednostkowy]], to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego <math>\theta</math> wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków{{odn|Reinhardt|Soeder|2006|loc=(w bibliografii)|s=182–183}}:
: <math>\begin{align}
\sin \theta =|AC| \\
\cos \theta =|OC| \\
\operatorname{tg} \theta =|AE| \\
\operatorname{ctg} \theta =|AF| \\
\sec \theta =|OE| \\
\operatorname{cosec} \theta =|OF|
\end{align}</math>
<!--
Dla miar kątów spoza przedziału <math>[0,\pi]</math> konieczne jest uogólnienie i przyjęcie ujemnej miary niektórych odcinków, podobnie jak w przypadku definicji na trójkącie prostokątnym.

Jeśli chodzi o definicję samego sinusa i cosinusa, to nie ma takiego problemu w przypadku, gdy zamiast na długości odcinków patrzeć będziemy na współrzędne punktu A, wówczas:
: <math>A=\left(\cos\theta, \sin\theta \right).</math>
-->
Alternatywnie, jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku <math>DA</math> można przyjąć pole [[Wycinek kołowy|wycinka]] <math>OBDA</math> – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla [[#Funkcje hiperboliczne|funkcji hiperbolicznych]], gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka [[Hiperbola (matematyka)|hiperboli]], analogicznego do <math>OBDA</math><ref name="poradnik_253" />.

Definicja ta była historycznie pierwsza. Wynikają z niej nazwy funkcji trygonometrycznych. Pierwotnie tymi nazwami określano właśnie długości odpowiednich odcinków, niekoniecznie na okręgu jednostkowym.

* ''Sinus'', czyli połowa długości cięciwy <math>AB,</math> był w pracach hinduskiego matematyka [[Arjabhata|Aryabhaty]] w [[Sanskryt|sanskrycie]] nazywany ''ardha-jiva'' („połowa cięciwy”), co zostało skrócone do ''jiva'', a następnie transliterowane do arabskiego ''jiba'' (جب). Europejscy tłumacze, [[Robert z Chester]] i [[Gerardo z Cremony]] w XII-wiecznym [[Toledo (Hiszpania)|Toledo]] pomylili ''jiba'' z ''jaib'' (جب), oznaczającym „zatokę” prawdopodobnie dlatego, że ''jiba'' (جب) i ''jaib'' (جب) są tak samo pisane po arabsku (informacja o samogłoskach jest gubiona w piśmie). ''Sinus'' znaczy po [[łacina|łacinie]] właśnie ''zatoka''<ref>{{Cytuj |autor = Owen Gingerich |tytuł = Astronomia islamu |czasopismo = Urania |wolumin = LX |numer = 8 |data = sierpień 1989 |s = 233 |issn = 0042-0794 |url = https://books.google.pl/books?id=5vZnCgAAQBAJ&pg=PA233#v=onepage&q&f=false}}</ref>. Wg innych danych nazwa "sinus" pochodzi od owej "połowy cięciwy", a mianowicie z wyrażenia "semichorda inscripta" (dosł. wpisana połowa cięciwy), co w skrócie opisywano s.ins, a później sinus<ref name=":0"/>.

* ''Tangens'' pochodzi od łacińskiego ''tangere'' – ''dotykający'', ''styczny'', gdyż odcinek <math>AE</math> jest [[Styczna|styczny]] do okręgu.
* ''Secans'' pochodzi z łacińskiego ''secare'' – ''dzielić'', ''rozcinać'', ''rozstrzygać'' i znaczy ''odcięcie''. Pierwotnie nazwa odnosiła się do odcinka <math>OE,</math> odcinanego przez styczną (tangens).
* ''Cosinus'', ''cotangens'' i ''cosecans'' powstały przez złożenie łacińskiego ''co-'' (wspólnik, towarzysz) i słów sinus, tangens i secans. Pierwotnie cosinus był nazywany ''complementi sinus'', czyli ''sinus [[Kąty dopełniające się|kąta dopełniającego]]'' albo ''complementi semichorda inscripta,'' co w skrócie zapisywano ''co.s.ins''. Rzeczywiście jest on równy sinusowi miary kąta dopełniającego <math>\angle AOF.</math> Podobnie cotangens i cosecans są równe tangensowi i secansowi tego kąta. Przedrostek „ko-” był jednak używany w stosunku do cosinusa już w sanskrycie u Aryabhaty (''koti-jya'', ''kojya''); trudno określić, w jakim stopniu nazwa łacińska do tego nawiązuje<ref>{{cytuj stronę |url = http://sci.cqu.edu.cn/__local/9/5E/7E/09B23559C54B02AF55D1254F2FA_7FB2CCA5_4AD14.pdf?e=.pdf |tytuł = Parallel Developments in Philosophy and Mathematics in India |autor = David Bressoud |autor2 = Joy Laine |strony = 13 |język = en |data dostępu = 2024-02-11}}</ref>.

=== Przez szereg Taylora ===
[[Plik:Sintay.svg|thumb|300px|Funkcja sinus i jej aproksymacje wielomianami stopnia <span style="color:red">1</span>, <span style="color:orange">3</span>, <span style="color:yellow">5</span>, <span style="color:green">7</span>, <span style="color:blue">9</span>, <span style="color:indigo">11</span> i <span style="color:violet">13</span> utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora]]

Definicje za pomocą [[Wzór Taylora|szeregów Taylora]] określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], dla których da się je zdefiniować, pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]], [[Kwaterniony|kwaternionów]], [[macierz]]y, a nawet na [[Algebra Banacha|algebry operatorów]], [[Przestrzeń unormowana|przestrzenie unormowane]] czy [[Pierścień nilpotentny|pierścienie nilpotentne]]<ref>W przypadku pierścieni nilpotentnych szereg Taylora ma tylko skończoną liczbę wyrazów różną od 0.</ref>. Definicje te są stosowane do numerycznego obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.

Zachodzą równości{{odn|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=417–418}}{{odn|Reinhardt|Soeder|2006|s=294}}<ref>{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sec/06/01/02/01/ |tytuł = Mathworld – Secans – series representation |data dostępu = 2009-01-10}}</ref>:
: <math>\begin{align}
\sin x &= x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \tfrac{x^7}{7!} + \ldots = \\
&=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\tfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \\
\cos x &= 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \tfrac{x^6}{6!} + \ldots = \\
&=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\tfrac{x^{2n}}{(2n)!}, \\
\operatorname{tg} x &= x + \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2 x^5}{15} + \ldots = \\
&=\sum^\infty_{n=1} \tfrac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1},\quad |x|<\tfrac{\pi}{2},
\end{align}</math>
gdzie <math>B_n</math> to [[liczby Bernoulliego]],
: <math>\begin{align}
\operatorname{ctg} x &= \tfrac{1}{x} - \tfrac{x}{3} - \tfrac{x^3}{45} - \tfrac{2 x^5}{945} - \ldots = \\
&=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},\quad 0 < |x| < \pi, \\
\sec x &= 1 + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{5 x^4}{24} + \tfrac{61 x^6}{720} + \ldots = \\
&=\sum^\infty_{n=0} \tfrac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n},\quad |x|< \tfrac{\pi}{2},
\end{align}</math>
gdzie <math>E_n</math> to [[liczby Eulera]],
: <math>\begin{align}
\operatorname{cosec} x &= \tfrac{1}{x} + \tfrac{x}{6} + \tfrac{7 x^3}{360} + \tfrac{31 x^5}{15120} + \ldots = \\
&= \sum_{n=0}^\infty \tfrac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},\quad 0 < |x| < \pi.
\end{align}</math>

Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym [[Przedział (matematyka)|przedziale]] zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością [[Aproksymacja jednostajna|jednostajnie przybliżać]] [[wielomian]]ami. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie, jeśli dziedzina przybliżanej funkcji nie jest zbiorem liczb rzeczywistych <math>\mathbb R.</math>

{{Zobacz też|twierdzenie Stone’a-Weierstrassa}}

=== Przez równania funkcyjne ===
'''Twierdzenie:''' Istnieje dokładnie jedna para [[Funkcja rzeczywista|funkcji rzeczywistych]] <math>(s,c)</math> taka, że dla każdego <math>x, y \in\mathbb{R}{:}</math>
: <math>\begin{cases}
s(x)^2 + c(x)^2 = 1 \\[2pt]
s(x+y) = s(x)c(y) + c(x)s(y) \\[2pt]
c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y) \\[2pt]
0 < xc(x) < s(x) < x\ \mathrm{dla}\ 0 < x < 1
\end{cases}</math>

Tymi funkcjami są<ref>{{cytuj stronę |url = http://www.math.uni.wroc.pl/~glowacki/analizaB/wyklad03.pdf |tytuł = Analiza B. Wykład 3. Funkcje elementarne |nazwisko = Głowacki |imię = Paweł |data dostępu = 2008-03-19}} twierdzenie 20.</ref>:
: <math>s(x)=\sin x, \quad c(x)=\cos x.</math>

Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować<ref name="atlas_295">{{odn|ref=nie|Reinhardt|Soeder|2006|s=295}}.</ref> również jako jedyne funkcje <math>s(x)</math> oraz <math>c(x)</math> spełniające poniższe trzy warunki:
: <math>\begin{cases}
s(x_1-x_2)=s(x_1)c(x_2)-c(x_1)s(x_2) \\[2pt]
c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)+s(x_1)s(x_2) \\[2pt]
\lim_{x\to 0}\tfrac{s(x)}{x}=1
\end{cases}</math>

=== Przez równania różniczkowe ===
Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi [[Równanie różniczkowe|równania różniczkowego]]
: <math>y'' = -y,</math>

które opisuje m.in. ruch masy podwieszonej na [[Sprężyna|sprężynie]] (tzw. [[oscylator harmoniczny]], patrz ''[[#Harmoniki|Harmoniki]]'').

Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki<ref name="Mathworld_best_known">{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/introductions/Trigonometrics/05/ |tytuł = Wolfram Mathworld – The best-known properties and formulas for trigonometric functions |data dostępu = 2009-03-19}}</ref>:
: <math>\begin{cases}
  y(0)=0 \\[2pt]
  y\,'(0)=1
\end{cases}</math>

Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego<ref name="Mathworld_best_known" />
: <math>\begin{cases}
  y(0)=1 \\[2pt]
  y\,'(0)=0
\end{cases}</math>

=== Przez iloczyny nieskończone ===
Funkcje trygonometryczne można też wprowadzić za pomocą [[Iloczyn nieskończony|iloczynów nieskończonych]]<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Saks |imię = Stanisław |nazwisko2 = Zygmund |imię2 = Antoni |url = http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=10&wyd=10&jez=pl |tytuł = Funkcje analityczne|seria = Monografie Matematyczne tom 10 |miejsce = Warszawa-Lwów-Wilno |rok = 1938 |strony = 299}}</ref>:
: <math>\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \tfrac{x^2}{\pi^2 n^2}\right),</math>
: <math>\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \tfrac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right).</math>

=== Przez ułamki łańcuchowe ===
Niektóre funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaci [[Ułamek łańcuchowy|ułamków łańcuchowych]]<ref name="mathworld_sin">{{MathWorld|adres=Sine |tytuł=Sine |data dostępu=2 stycznia 2009}}</ref><ref name="mathworld_tan">{{MathWorld|adres=Tangent |tytuł=Tangent |data dostępu=2 stycznia 2009}}</ref><ref>{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Cot/10/ |tytuł = Cotangent: continued fraction representation |opublikowany = Mathworld |język = en |data dostępu = 2009-01-02}}</ref>:
: <math>\sin x=\cfrac{x}{1+\cfrac{x^2}{(2\cdot 3-x^2)+\cfrac{2\cdot 3 x^2}{(4\cdot 5-x^2)+\cfrac{4\cdot 5 x^2}{(6\cdot 7-x^2)+\ldots}}}},</math>
: <math>\operatorname{tg} x=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{7-\ldots}}}}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{3}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{5}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{7}{x}-\ldots}}}},</math>
: <math>\operatorname{ctg} x=\cfrac{1}{x}-\cfrac{x}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{7-\cfrac{x^2}{9-\ldots}}}}</math>
<!--TODO: znaleźć kosinus-->

=== Przez ogólniejsze funkcje ===
Funkcje trygonometryczne można też zdefiniować analitycznie jako szczególne przypadki [[Funkcje Bessela|funkcji Bessela]], [[Funkcje Mathieu|funkcji Mathieu]] albo [[Funkcja theta|funkcji eliptycznych Jacobiego]]<ref>{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/introductions/Trigonometrics/04/ |tytuł = Wolfram Mathworld – Connections within the group of trigonometric functions and with other function groups |data dostępu = 2009-03-19}}</ref>.

== Własności w dziedzinie rzeczywistej ==
=== Przebieg zmienności funkcji ===
W matematyce na poziomie szkół średnich i w wielu praktycznych zastosowaniach rozpatruje się funkcje trygonometryczne dla argumentu będącego [[Liczby rzeczywiste|liczbą rzeczywistą]]. Mają one wówczas następujące własności:
; [[Dziedzina (matematyka)|Dziedzina]] i [[Asymptota|asymptoty]]
* Funkcje sinus i cosinus określone są dla każdej liczby rzeczywistej.
* Tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać <math>\tfrac{\pi}{2}+k\pi,</math> gdzie <math>k</math> jest [[Liczby całkowite|liczbą całkowitą]].
* Cotangens jest określony w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych poza liczbami postaci <math>k\pi,</math> gdzie <math>k</math> jest liczbą całkowitą.
* Tangens i secans mają asymptoty pionowe w punktach postaci <math>x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi,</math> a cotangens i cosecans w punktach postaci <math>x=k\pi.</math> Żadna z tych funkcji nie ma asymptot innego rodzaju.
; [[Funkcja|Przeciwdziedzina]]
* Sinus i cosinus są [[Funkcja ograniczona|ograniczone]]: przyjmują wartości z przedziału <math>[-1,1].</math> Tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste, a secans i cosecans wartości ze zbioru<ref name="poradnik_231">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=231}}.</ref> <math>(-\infty,-1]\cup[1,\infty).</math>
; [[Ekstremum funkcji|Ekstrema]]
* Maksymalną wartość, dla obu funkcji <math>1,</math> sinus przyjmuje w punktach <math>x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,</math> a cosinus w punktach <math>x=2k\pi,</math> gdzie <math>k</math> jest liczbą całkowitą.
* Minimalną wartość, dla obu funkcji <math>-1,</math> sinus przyjmuje w punktach <math>x= -\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,</math> a cosinus w punktach <math>x=\pi+2k\pi,</math> gdzie <math>k</math> jest liczbą całkowitą.
; [[Miejsce zerowe|Miejsca zerowe]]
* Miejscami zerowymi sinusa i tangensa są punkty postaci <math>x=k\pi,</math> gdzie <math>k</math> jest liczbą całkowitą.
* Miejscami zerowymi cosinusa i cotangensa są punkty postaci <math>x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi,</math> gdzie <math>k</math> jest liczbą całkowitą.
; [[Funkcje parzyste i nieparzyste|Parzystość i nieparzystość]]
* Funkcje sinus, tangens, cotangens, cosecans są nieparzyste, a funkcje cosinus i secans parzyste:
*: <math>\begin{array}{l l} \sin (-x) = -\sin x & \cos (-x) = \cos x \\ \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x & \operatorname{ctg} (-x) = -\operatorname{ctg} x \\ \sec (-x) = \sec x & \operatorname{cosec} (-x) = -\operatorname{cosec} x\end{array}</math>
; [[Funkcja okresowa|Okresowość]]
* Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi. Okresem podstawowym sinusa, cosinusa, secansa i cosecansa jest liczba <math>2\pi,</math> a tangensa i cotangensa <math>\pi</math><ref name="poradnik_625">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=625}}.</ref><ref name="poradnik_114_116" />:
*: <math>\begin{array}{l l}\sin x = \sin(x + 2k\pi) & \cos x = \cos(x + 2k\pi) \\ \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} (x + k\pi) & \operatorname{ctg} x = \operatorname{ctg} (x + k\pi) \\ \sec x = \sec (x + 2k\pi) & \operatorname{cosec} x = \operatorname{cosec} (x + 2k\pi)\end{array}</math>
: gdzie <math>k</math> jest liczbą całkowitą.
; [[Funkcja ciągła|Ciągłość]] i [[Funkcja różniczkowalna|różniczkowalność]]
* Funkcje sinus i cosinus są ciągłe i różniczkowalne w każdym punkcie prostej rzeczywistej. Tangens, cotangens, secans i cosecans także są ciągłe i różniczkowalne w swoich dziedzinach (zob. wyżej).
; [[Funkcja odwrotna|Odwracalność]]
* Żadna z nich nie jest [[Funkcja różnowartościowa|różnowartościową]], a zatem nie istnieją funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych w całej dziedzinie. W pewnych [[Przedział (matematyka)|przedziałach]] funkcje te są jednak różnowartościowe i można tam określić [[Funkcje cyklometryczne|funkcje do nich odwrotne]].
; Własności algebraiczne
* Funkcje trygonometryczne zalicza się do [[Funkcje elementarne|funkcji elementarnych]]. Nie są one jednak [[Funkcja algebraiczna|funkcjami algebraicznymi]].
* Liczby <math>\sin x</math> oraz <math>\cos x</math> są [[Liczby algebraiczne|liczbami algebraicznymi]] dla dowolnych liczb postaci <math>x=r\pi,</math> gdzie <math>r</math> jest [[Liczby wymierne|liczbą wymierną]]<ref>{{cytuj stronę |url = http://www.uni-math.gwdg.de/jahnel/Preprints/cos.pdf |tytuł = When is the (co)sine of a rational angle equal to a rational number? |nazwisko = Jahnel |imię = Jörg |strony = 3 |archiwum = https://web.archive.org/web/20061002173212/http://www.uni-math.gwdg.de/jahnel/Preprints/cos.pdf |zarchiwizowano = 2006-10-02 |język = en |data dostępu = 2015-12-28}}</ref>.

=== Wykresy ===
Cosinusoida jest sinusoidą [[Translacja (matematyka)|przesuniętą]] o [[wektor]] <math>\left[-\tfrac{\pi}{2},0\right].</math> Szare linie pionowe na dolnych wykresach to asymptoty. Wykresy można powiększyć przez kliknięcie myszką.

<gallery perrow="2" widths="300px">
Plik:Sin proportional.svg|'''Sinusoida''': wykres funkcji <math>y = \sin x</math>
Plik:Cos proportional.svg|'''Cosinusoida''': wykres funkcji <math>y = \cos x</math>
</gallery>
<gallery perrow="2" widths="300px" heights="300px">
Plik:Tan proportional.svg|'''Tangensoida''': wykres funkcji <math>y = \operatorname{tg} x</math>
Plik:Cotan proportional.svg|'''Cotangensoida''': wykres funkcji <math>y = \operatorname{ctg} x</math>
</gallery>
<gallery perrow="2" widths="300px" heights="300px">
Plik:Sec proportional.svg|Wykres funkcji '''secans''' <math>y = \sec x = \frac{1}{\cos x}</math>
Plik:Cosec proportional.svg|Wykres funkcji '''cosecans''' <math>y = \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}</math>
</gallery>
{{clear}}

=== Wartości dla typowych kątów ===
Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, 180°<ref name="poradnik_233">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=233}}.</ref>:
{| class="wikitable" width="40%" style="text-align:center"
! radiany !! <math>0</math> !! <math>\frac{\pi}{12}</math> !! <math>\frac{\pi}{6}</math> !! <math>\frac{\pi}{4}</math> !! <math>\frac{\pi}{3}</math> !! <math>\frac{5\pi}{12}</math> !! <math>\frac{\pi}{2}</math> !! <math>\pi</math>
|-
! stopnie !! <math>0^\circ</math> !! <math>15^\circ</math> !! <math>30^\circ</math> !! <math>45^\circ</math> !! <math>60^\circ</math> !! <math>75^\circ</math> !! <math>90^\circ</math> || <math>180^\circ</math>
|-
! <math>\sin</math>
| <math>0</math> || <math>\tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math> || <math>\tfrac{1}{2}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math> || <math>1</math> || <math>0</math>
|-
! <math>\cos</math>
| <math>1</math> || <math>\tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{3}}{2}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{2}}{2}</math> || <math>\tfrac{1}{2}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math> || <math>0</math> || <math>-1</math>
|-
! <math>\operatorname{tg}</math>
| <math>0</math> || <math>2-\sqrt{3}</math> || <math>\tfrac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>1</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>2+\sqrt{3}</math> || nieokreślony || <math>0</math>
|-
! <math>\operatorname{ctg}</math>
| nieokreślony || <math>2+\sqrt{3}</math> || <math>\sqrt{3}</math> || <math>1</math> || <math>\tfrac{\sqrt{3}}{3}</math> || <math>2-\sqrt{3}</math> || <math>0</math> || nieokreślony
|-
! <math>\sec</math>
| <math>1</math> || <math>\sqrt{6}-\sqrt{2}</math> || <math>\tfrac{2\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>2</math> || <math>\sqrt{6}+\sqrt{2}</math> || nieokreślony || <math>-1</math>
|-
! <math>\operatorname{cosec}</math>
| nieokreślony || <math>\sqrt{6}+\sqrt{2}</math> || <math>2</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\tfrac{2\sqrt{3}}{3}</math> || <math>\sqrt{6}-\sqrt{2}</math> || <math>1</math> || nieokreślony
|}

Wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla argumentów postaci <math>\tfrac{n\pi}{m}, n\in\mathbb{Z}, m\in\mathbb{N_+}</math> dają się zapisać za pomocą skończonego wzoru z użyciem podstawowych [[Arytmetyka elementarna|działań arytmetycznych]] i [[Pierwiastkowanie#Pierwiastek kwadratowy|pierwiastka kwadratowego]] wtedy i tylko wtedy, gdy po skróceniu ułamka <math>\tfrac{n}{m}</math> liczba <math>m</math> jest iloczynem [[Potęga dwójki|potęgi dwójki]] i różnych [[Liczby Fermata|liczb pierwszych Fermata]] (jak dotąd znanych jest pięć takich liczb: 3, 5, 17, 257, 65537)<ref>{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/03/02/ |tytuł = Wolfram Mathworld – Sine: Specific values |data dostępu = 2009-03-19}}</ref><ref>{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Tan/03/02/ |tytuł = Wolfram Mathworld – Tangent: Specific values |data dostępu = 2009-03-19}}</ref>. W szczególności nie da się zapisać w ten sposób dokładnej wartości funkcji kąta 1°, gdyż <math>1^\circ=\tfrac{\pi}{180},</math> a <math>180=2^2\cdot 3^2\cdot 5</math> ma drugą potęgę przy trójce. Warunek na <math>m</math> jest identyczny jak warunek konstruowalności <math>m</math>-kąta foremnego za pomocą cyrkla i linijki (por. [[twierdzenie Gaussa-Wantzela]]).

=== Wzory redukcyjne ===
{{osobny artykuł|Trygonometryczne wzory redukcyjne}}
Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić dowolny rzeczywisty argument funkcji trygonometrycznej do argumentu z przedziału <math>[0,\tfrac{\pi}{2}),</math> czyli <math>[0^\circ,90^\circ)</math>{{odn|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=232}}:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!
!I ćwiartka
!colspan=2| II ćwiartka
!colspan=2| III ćwiartka
!colspan=2| IV ćwiartka
|-
!rowspan=2| <math>\phi</math>
!<math>90^\circ-\alpha</math>
!<math>90^\circ+\alpha</math>
!<math>180^\circ-\alpha</math>
!<math>180^\circ+\alpha</math>
!<math>270^\circ-\alpha</math>
!<math>270^\circ+\alpha</math>
!<math>360^\circ-\alpha</math>
|-
!<math>\tfrac{\pi}{2}-\alpha</math>
!<math>\tfrac{\pi}{2}+\alpha</math>
!<math>\pi-\alpha</math>
!<math>\pi+\alpha</math>
!<math>\tfrac{3}{2}\pi-\alpha</math>
!<math>\tfrac{3}{2}\pi+\alpha</math>
!<math>2\pi-\alpha</math>
|-
!<math>\sin\phi</math>
|<math>\cos\alpha</math>
|<math>\cos\alpha</math>
|<math>\sin\alpha</math>
|<math>-\sin\alpha</math>
|<math>-\cos\alpha</math>
|<math>-\cos\alpha</math>
|<math>-\sin\alpha</math>
|-
!<math>\cos\phi</math>
|<math>\sin\alpha</math>
|<math>-\sin\alpha</math>
|<math>-\cos\alpha</math>
|<math>-\cos\alpha</math>
|<math>-\sin\alpha</math>
|<math>\sin\alpha</math>
|<math>\cos\alpha</math>
|-
!<math>\operatorname{tg}\phi</math>
|<math>\operatorname{ctg}\alpha</math>
|<math>-\operatorname{ctg}\alpha</math>
|<math>-\operatorname{tg}\alpha</math>
|<math>\operatorname{tg}\alpha</math>
|<math>\operatorname{ctg}\alpha</math>
|<math>-\operatorname{ctg}\alpha</math>
|<math>-\operatorname{tg}\alpha</math>
|-
!<math>\operatorname{ctg}\phi</math>
|<math>\operatorname{tg}\alpha</math>
|<math>-\operatorname{tg}\alpha</math>
|<math>-\operatorname{ctg}\alpha</math>
|<math>\operatorname{ctg}\alpha</math>
|<math>\operatorname{tg}\alpha</math>
|<math>-\operatorname{tg}\alpha</math>
|<math>-\operatorname{ctg}\alpha</math>
|-
!<math>\sec\phi</math>
|<math>\operatorname{cosec}\alpha</math>
|<math>-\operatorname{cosec}\alpha</math>
|<math>-\sec\alpha</math>
|<math>-\sec\alpha</math>
|<math>-\operatorname{cosec}\alpha</math>
|<math>\operatorname{cosec}\alpha</math>
|<math>\sec\alpha</math>
|-
!<math>\operatorname{cosec}\phi</math>
|<math>\sec\alpha</math>
|<math>\sec\alpha</math>
|<math>\operatorname{cosec}\alpha</math>
|<math>-\operatorname{cosec}\alpha</math>
|<math>-\sec\alpha</math>
|<math>-\sec\alpha</math>
|<math>-\operatorname{cosec}\alpha</math>
|}

Aby zapamiętać zmianę funkcji, można wspomagać się następującą obserwacją: funkcja przechodzi w swoją ''kofunkcję'', jeżeli rozpatrywany kąt ma postać <math>90^\circ \pm \alpha</math> bądź <math>270^\circ \pm \alpha,</math> w przypadkach <math>0^\circ \pm \alpha = 360^\circ \pm \alpha</math> oraz <math>180^\circ \pm \alpha</math> funkcja nie ulega zmianie. Znaki w poszczególnych ćwiartkach układu dla odpowiednich funkcji w powyższej tabelce zgodne są ze znakami redukowanych funkcji w danej ćwiartce według tabeli<ref name="poradnik_231" />:
[[Plik:Cartesian-coordinate-system-with-quadrant.svg|thumb|150px|Ćwiartki układu współrzędnych]]
{| class="wikitable" style="text-align: center"
|-
!
! I ćwiartka
! II ćwiartka
! III ćwiartka
! IV ćwiartka
|-
| <math>\sin \alpha</math>
| +
| +
| –
| –
|-
| <math>\cos \alpha</math>
| +
| –
| –
| +
|-
| <math>\operatorname{tg} \alpha</math>
| +
| –
| +
| –
|-
| <math>\operatorname{ctg} \alpha</math>
| +
| –
| +
| –
|-
| <math>\sec \alpha</math>
| +
| –
| –
| +
|-
| <math>\operatorname{cosec} \alpha</math>
| +
| +
| –
| –
|}

Metodą [[Mnemotechnika|mnemotechniczną]] zapamiętania znaków dla stosowanych najczęściej w redukcji pierwszych czterech spośród powyższych funkcji jest popularny wierszyk nieznanego autora:
: ''W pierwszej ćwiartce są dodatnie'',
: ''w drugiej tylko sinus'',
: ''w trzeciej tangens i cotangens'',
: ''a w czwartej cosinus''.

W innych wersjach pierwszy wers brzmi:
: ''W pierwszej ćwiartce same plusy'' lub ''W pierwszej wszystkie są dodatnie''.

=== Podstawowe tożsamości trygonometryczne ===
{{osobny artykuł|Tożsamości trygonometryczne}}
Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. '''tożsamości trygonometryczne'''. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:
* [[jedynka trygonometryczna]]<ref name="poradnik_234">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=234}}.</ref>:
: <math>\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1</math>
* definicja tangensa i cotangensa za pomocą sinusa i cosinusa (pozwala wyprowadzić tożsamości dla tangensa i cotangensa z tożsamości dla sinusa i cosinusa)<ref name="poradnik_234" />:
: <math>\begin{align}
\operatorname{tg} \alpha & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\; \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\
\operatorname{ctg} \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\; \alpha\neq k\pi
\end{align},\quad k\in\mathbb{Z}.</math>
[[Plik:TrigSumFormula.svg|thumb|350px|Geometryczny dowód wzoru <math>\sin (\alpha+\beta) =\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta</math>]]
* wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów<ref name="poradnik_234" />:
: <math>\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta</math>
: <math>\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta</math>
* wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów<ref name="poradnik_234" />:
: <math>\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta} 2</math>
: <math>\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha - \beta} 2</math>
: <math>\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha - \beta} 2</math>
* wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu<ref name="poradnik_235">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=235}}.</ref>:
: <math>\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha</math>
: <math>\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha= 2\cos^2\alpha - 1 = 1 -2\sin^2\alpha</math>
* wzory na sinus i cosinus połowy argumentu<ref name="poradnik_236">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=236}}.</ref>:
: <math>\left| \sin\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\sqrt\tfrac{1-cos \alpha}{2}</math>
: <math>\left| \cos\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\sqrt\tfrac{1+cos \alpha}{2}</math>
* iloczyn w postaci sumy<ref name="poradnik_236" />:
: <math>\cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2</math>
: <math>\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)} 2</math>
: <math>\sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2</math>
* wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne<ref name="poradnik_234" /><ref>Słownik encyklopedyczny – matematyka, s. 93–94.</ref>:
: <math>\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)</math>
: <math>\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)</math>
: <math>\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha}</math>
: <math>\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha}</math>
: <math>\sec \alpha= \tfrac{1}{\cos \alpha} = \operatorname{cosec} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)</math>
: <math>\operatorname{cosec} \alpha=\tfrac{1}{\sin \alpha} = \sec \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)</math>
: <math>\begin{matrix}
    \color{red}{\sin^2 \alpha}=
  & 1-\cos^2 \alpha=
  & \tfrac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{1+\operatorname{tg}^2 \alpha}=
  & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2 \alpha} \\

    1-\sin^2 \alpha=
  & \color{red}{\cos^2 \alpha}=
  & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2 \alpha}=
  & \tfrac{\operatorname{ctg}^2 \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2 \alpha} \\

    \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}=
  & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}=
  & \color{red}{\operatorname{tg}^2 \alpha}=
  & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2 \alpha} \\

    \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}=
  & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}=
  & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2 \alpha}=
  & \color{red}{\operatorname{ctg}^2 \alpha}
\end{matrix}</math>
<small>(Zastrzeżenie formalne: Równości powyżej są prawdziwe tylko dla argumentów, dla których wszystkie użyte funkcje są określone, a w mianownikach nie występują zera)</small>

=== Pochodne funkcji trygonometrycznych ===
Zachodzą równości<ref name="poradnik_397">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=397}}.</ref>:
: <math>\sin' x = \cos x = \sin\left(\tfrac \pi 2 + x\right)</math>
: <math>\cos' x = -\sin x = \cos\left(\tfrac \pi 2 + x\right)</math>
: <math>\operatorname{tg}' x = \tfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x=1+\operatorname{tg}^2 x\mbox{ dla }x\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}</math>
: <math>\operatorname{ctg}' x = -\tfrac{1}{\sin^2 x}= -\operatorname{cosec}^2 x= -(1+\operatorname{ctg}^2 x)\mbox{ dla }x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}</math>
: <math>\sec' x=\tfrac{\sin x}{\cos^2 x}=\operatorname{tg}x \sec x\mbox{ dla }x\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}</math>
: <math>\operatorname{cosec}' x= -\tfrac{\cos x}{\sin^2 x}= -\operatorname{ctg}x \operatorname{cosec} x\mbox{ dla }x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}</math>

Można z nich otrzymać pochodne wyższych rzędów:
: <math>\sin^{(n)} x = \sin\left(\tfrac {n\pi} 2 + x\right) = \begin{cases}
\sin x & n = 4k \\[2pt]
\cos x & n = 4k + 1 \\[2pt]
-\sin x & n = 4k + 2 \\[2pt]
-\cos x & n = 4k + 3\end{cases}
\mbox{ dla } k \in \{0,1,2,\dots\},</math>

: <math>\cos^{(n)} x = \cos\left(\tfrac {n\pi} 2 + x\right) = \begin{cases}
\cos x & n = 4k \\[2pt]
-\sin x & n = 4k + 1 \\[2pt]
-\cos x & n = 4k + 2 \\[2pt]
\sin x & n = 4k + 3\end{cases}
\mbox{ dla } k \in \{0,1,2,\dots\}.</math>

Wzory na <math>n</math>-te pochodne pozostałych funkcji trygonometrycznych również istnieją, jednak są o wiele bardziej skomplikowane<ref>{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Tan/20/02/ |tytuł = Tangent differentiation |data dostępu = 2009-01-24}}</ref><ref>{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Cot/20/02/ |tytuł = Cotangent differentiation |data dostępu = 2009-01-24}}</ref><ref>{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sec/20/02/ |tytuł = Secant differentiation |data dostępu = 2009-01-24}}</ref><ref>{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Csc/20/02/ |tytuł = Cosecant differentiation |data dostępu = 2009-01-24}}</ref>.

=== Całki funkcji trygonometrycznych ===<!--do tej sekcji prowadzi link zewnętrzny-->
{{Osobna sekcja|Całkowanie przez podstawienie|Całkowanie funkcji trygonometrycznych}}
Podstawowe całki to<ref name="poradnik_426">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=426}}.</ref>:
: <math>\int\sin x \mathrm{d}x= -\cos x+C,</math>
: <math>\int\cos x \mathrm{d}x=\sin x+C,</math>
: <math>\int\operatorname{tg} x \mathrm{d}x= -\ln|\cos x|+C,</math>
: <math>\int\operatorname{ctg} x \mathrm{d}x=\ln|\sin x|+C,</math>
: <math>\int\sec x \mathrm{d}x=\ln|\sec x+\operatorname{tg} x|+C,</math>
: <math>\int\operatorname{cosec} x \mathrm{d}x= -\ln|\operatorname{cosec} x+\operatorname{ctg} x|+C,</math>

gdzie <math>C\in\mathbb{R}.</math>

{{Wikiźródła|tekst=nie|Całki funkcji trygonometrycznych|tabelę całek funkcji trygonometrycznych}}
Każda całka [[Funkcja wymierna|funkcji wymiernej]] postaci <math>R(\sin x, \cos x)</math> jest elementarna, można ją [[Całkowanie przez podstawienie|obliczyć przez podstawienie]]<ref name="poradnik_438">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=438}}.</ref>:
: <math>t = \operatorname{tg} \tfrac{x}{2},</math>

wówczas:
: <math>\operatorname{d}x=\tfrac{2\operatorname{d}t}{1+t^2},</math>
: <math>\sin x=\tfrac{2t}{1+t^2},</math>
: <math>\cos x=\tfrac{1-t^2}{1+t^2},</math>
: <math>\operatorname{tg} x=\tfrac{2t}{1-t^2},</math>
: <math>\operatorname{ctg} x=\tfrac{1-t^2}{2t},</math>
: <math>\sec x=\tfrac{1+t^2}{1-t^2},</math>
: <math>\operatorname{cosec} x=\tfrac{1+t^2}{2t}.</math>

== Własności w dziedzinie zespolonej ==
Używając [[#Definicja za pomocą szeregu Taylora|definicji analitycznych]] funkcji trygonometrycznych można te funkcje uogólnić m.in. na liczby zespolone.

=== Porównanie z funkcjami zmiennej rzeczywistej ===
Uogólnione w ten sposób funkcje trygonometryczne zachowują większość własności zmiennej rzeczywistej:
* [[Funkcja okresowa|okresowość]] (w tym okres podstawowy),
* tożsamości trygonometryczne,
* [[Miejsce zerowe|miejsca zerowe]],
* punkty nieokreśloności:
** sinus i cosinus są określone w całym zbiorze liczb zespolonych,
** tangens jest określony w zbiorze liczb zespolonych, których usunięto liczby postaci <math>\tfrac{(2k-1)\pi}{2},</math> a cotangens – punktów postaci <math>k\pi,</math> gdzie <math>k</math> jest całkowita.

Zasadniczą różnicą jest brak ograniczoności funkcji sinus i cosinus. Przykładowo cosinus niezerowego argumentu [[Liczby urojone|urojonego]] jest zawsze liczbą rzeczywistą większą od <math>1,</math> w szczególności:
: <math>\cos i = \tfrac{1}{2}(e^{-1}+e) \approx 1{,}543;\qquad \sin i = \tfrac{1}{2i}(e^{-1}-e)\approx 1{,}175i</math>

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są (nieskończenie) [[Odwzorowanie jednokrotne|wielokrotne]] na całej płaszczyźnie zespolonej.

=== Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty ===
: {| class="wikitable" width="75%" style="text-align:center"
|-
! Funkcja !! Część rzeczywista !! Część urojona !! [[Wartość bezwzględna#Liczby zespolone|Moduł]]
|-
| <math>\sin(x\pm iy)</math> || <math>\sin x \cosh y</math> || <math>\pm \cos x\sinh y</math> || <math>\sqrt{\sin^2 x+\sinh^2 y}</math>
|-
| <math>\cos(x\pm iy)</math> || <math>\cos x \cosh y</math> || <math>\mp \sin x\sinh y</math> || <math>\sqrt{\cos^2 x+\sinh^2 y}</math>
|-
| <math>\operatorname{tg}(x\pm iy)</math> || <math>\frac{\sin 2x}{\cos 2x+\cosh 2y}</math> || <math>\pm\frac{\sinh 2y}{\cos 2x+\cosh 2y}</math> || <math>\sqrt\frac{\sin^2 2x+\sinh^2 2y}{(\cos 2x+\cosh 2y)^2}</math>
|-
| <math>\operatorname{ctg}(x\pm iy)</math> || <math>-\frac{\sin 2x}{\cos 2x-\cosh 2y}</math> || <math>\pm\frac{\sinh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y}</math> || <math>\sqrt{-\frac{\cos 2x+\cosh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y}}</math>
|}
<!--TODO: pozostałe funkcje-->

[[Argument liczby zespolonej|Argument]] <math>\varphi</math> oblicza się według wzorów:
: <math>\sin\varphi=\tfrac{\operatorname{Im} \omega}{|\omega|},</math>
: <math>\cos\varphi=\tfrac{\operatorname{Re} \omega}{|\omega|},</math>

gdzie <math>\omega</math> to wartość odpowiedniej funkcji trygonometrycznej.

=== Wzór Eulera ===<!--Do tej nazwy sekcji odwołuje się link wewnętrzny-->
{{osobny artykuł|Wzór Eulera}}
W dziedzinie zespolonej zachodzi związek, zwany wzorem Eulera:
: <math>e^{iz}=\cos z+i\sin z.</math>

Wynika z niego, iż:
: <math>\sin z = \tfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i},</math>
: <math>\cos z = \tfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2},</math>
: <math>\operatorname{tg} z = \tfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{(e^{iz} + e^{-iz})i},</math>
: <math>\operatorname{ctg} z = \tfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{e^{iz} - e^{-iz}}i,</math>
: <math>\sec z = \tfrac{2}{e^{iz} + e^{-iz}},</math>
: <math>\operatorname{cosec} z = \tfrac{2i}{e^{iz} - e^{-iz}},</math>

gdzie:
* <math>e</math> jest stałą, zwaną [[Podstawa logarytmu naturalnego|podstawą logarytmu naturalnego]],
* <math>i</math> jest [[Jednostka urojona|jednostką urojoną]] <math>(i^2=-1).</math>

Wzory te pozwalają na niemal mechaniczne upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych.

=== Wykresy ===
[[Liczby zespolone]] na [[Płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]] zostały oznaczone kolorami, zgodnie z [[Technika kolorowania dziedziny|umownym schematem]]. Odcienie barw określają [[Argument liczby zespolonej|argument]], a jasność – [[Wartość bezwzględna#Liczby zespolone|moduł]] wyniku

<gallery>
Plik:Complex sin.jpg|Funkcja sinus
Plik:Complex cos.jpg|Funkcja cosinus
Plik:Complex tan.jpg|Funkcja tangens
Plik:Complex Cot.jpg|Funkcja cotangens
Plik:Complex Sec.jpg|Funkcja secans
Plik:Complex Csc.jpg|Funkcja cosecans
Plik:Complex coloring.jpg|Kod kolorów
</gallery>

== Zastosowania matematyczne ==
Ze względu na obecność funkcji trygonometrycznych w najróżniejszych działach nauki i techniki nie jest możliwe podanie wszystkich ich zastosowań<ref name="mathworld_intro" />. Poniżej wymieniono więc tylko niektóre.

=== Geometria ===
Bezpośrednim zastosowaniem funkcji trygonometrycznych w [[Geometria|geometrii]] elementarnej jest wyznaczanie długości boków lub kątów [[trójkąt]]a. Poniżej podano kilka innych zastosowań.

==== Twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów ====
{{osobny artykuł|Twierdzenie sinusów|Twierdzenie cosinusów|Twierdzenie tangensów}}
[[Plik:Triangle - angles, vertices, sides.svg|thumb|150px|Oznaczenia]]
[[Plik:Law of cosines with acute angles.svg|thumb|300px|Geometryczny dowód twierdzenia cosinusów dla kątów ostrych. Obydwie figury mają równe pola powierzchni.]]
W każdym trójkącie (przy oznaczeniach standardowych, zob. rysunek) zachodzą następujące równości:

'''Twierdzenie sinusów''', inaczej '''twierdzenie [[Willebrord Snell|Snelliusa]]'''<ref name="poradnik_239">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=239}}.</ref>:
: <math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R</math>

(<math>R</math> jest promieniem [[Okrąg opisany na wielokącie|okręgu opisanego]])

'''Twierdzenie cosinusów''', inaczej '''twierdzenie [[Lazare Nicolas Marguerite Carnot|Carnota]]'''<ref name="poradnik_240">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=240}}.</ref>:
: <math>c^2=a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma</math>

'''Twierdzenie tangensów''', inaczej '''twierdzenie [[Regiomontanus|Regiomontana]]'''<ref name="poradnik_240" />:
: <math>\frac{a-b}{a+b} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\alpha - \beta}{2}}{\operatorname{tg}\frac{\alpha + \beta}{2}}.</math>

W geometrii sferycznej istnieje także '''twierdzenie haversinów''', związane z nieużywaną dziś funkcją trygonometryczną <math>\operatorname{haversin} x = 1-\cos \tfrac{x}{2},</math> pozwalające na obliczanie odległości pomiędzy dwoma punktami na [[Sfera|sferze]]<ref name="haversin" />.

==== Wzory na pole trójkąta ====
Wzory na pole trójkąta często wykorzystują funkcje trygonometryczne<ref name="mathworld_intro">{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/introductions/Trigonometrics/06/ |tytuł = Wolfram Mathworld – Introduction to the trigonometric functions |data dostępu = 2009-03-19}}</ref>:
: <math>S=\frac{bc\sin \alpha}{2}</math>

lub
: <math>S=2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma</math>

lub
: <math>S=\frac{a^2+b^2+c^2}{4(\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta+\operatorname{ctg}\gamma)},</math>

gdzie:
* <math>a,b,c</math> to boki trójkąta,
* <math>\alpha,\beta,\gamma</math> to miary kątów o wierzchołkach leżących naprzeciw boków odpowiednio <math>a,b</math> i <math>c,</math>
* <math>R</math> to promień koła opisanego.

==== Iloczyny wektorów ====
{{osobny artykuł|Iloczyn skalarny|Iloczyn wektorowy}}
W geometrii i [[Algebra liniowa|algebrze liniowej]] definiowane są iloczyny [[wektor]]ów, m.in. iloczyny skalarny i wektorowy. Czasem konieczne jest obliczenie wartości iloczynu skalarnego lub wektorowego dla wektorów o znanych [[Kierunek w geometrii elementarnej|kierunkach]], [[Zwrot wektora|zwrotach]] i [[Przestrzeń unormowana|długościach]]. Wzory wykorzystują funkcje trygonometryczne kąta <math>\theta</math> między wektorami:
* iloczyn skalarny<ref name="poradnik_650">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=650}}.</ref>,
*: <math>\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \, |\vec b| \cos \theta,</math>
* iloczyn wektorowy<ref name="poradnik_650" />,
*: <math>\vec a \times \vec b = (|\vec a| \, |\vec b| \sin \theta) \, \vec n,</math>
: gdzie <math>\vec n</math> jest ustalonym [[Wektor jednostkowy|wektorem jednostkowym]] [[Ortogonalność|prostopadłym]] tak do <math>\vec a,</math> jak i do <math>\vec b.</math>

==== Współrzędne biegunowe, sferyczne i walcowe ====
{{osobny artykuł|Układ współrzędnych biegunowych|Układ współrzędnych sferycznych|Układ współrzędnych walcowych}}
Najczęściej w geometrii stosowany jest [[układ współrzędnych kartezjańskich]]. Niekiedy jednak wygodnie jest stosować inne [[Układ współrzędnych|układy]], w których niektóre współrzędne są wyznaczone za pomocą kątów. Do takich układów należy [[układ współrzędnych biegunowych]], [[układ współrzędnych sferycznych]] (jego zastosowaniem są np. [[współrzędne geograficzne]]) i [[układ współrzędnych walcowych]]. Wówczas przydatne są funkcje trygonometryczne, m.in. do przeliczania takich współrzędnych na współrzędne kartezjańskie.

==== Geometria sferyczna ====
{{osobny artykuł|Geometria sferyczna}}
Funkcje trygonometryczne są ważnymi narzędziami [[Geometria sferyczna|geometrii sferycznej]] i jej zastosowań w [[Astronomia sferyczna|astronomii]], [[Astronawigacja|nawigacji]] i [[Geodezja wyższa|geodezji]], gdzie służą m.in. do rozwiązywania [[Trójkąt sferyczny|trójkątów sferycznych]].

{{Zobacz też|reguła Nepera}}

=== Analiza matematyczna ===
==== Szereg Fouriera ====
[[Plik:Synthesis square pl.gif|thumb|250px|Przedstawienie fali prostokątnej w postaci szeregu harmonicznych]]
Funkcje <math>\left\{ \tfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}, \tfrac{\sin nx}{\sqrt \pi}, \tfrac{\cos nx}{\sqrt \pi} \right\}</math> tworzą dla dowolnego <math>n \in \mathbb{N}_+</math> [[Ortonormalność#Funkcje ortonormalne|układ ortonormalny]]. Dzięki temu [[Funkcja okresowa|funkcje okresowe]] <math>S(x)</math> spełniające [[warunki Dirichleta]] mogą być wyrażone w postaci [[Szereg Fouriera|szeregu Fouriera]]:
: <math>S(x) = \tfrac{1}{2}a_0 + \sum_{n = 1}^\infty \left(a_n \cos \tfrac{2n\pi}{T}x + b_n \sin \tfrac{2n\pi}{T}x \right).</math>

Można go również wyrazić za pomocą np. samych funkcji sinus. Poszczególne składowe tego szeregu nazywane są [[Harmoniczna|harmonicznymi]]. Szereg Fouriera odgrywa wielką rolę w fizyce, [[Teoria drgań|teorii drgań]], a nawet [[Teoria muzyki|teorii muzyki]] (zob. [[szereg harmoniczny (muzyka)]], [[Harmoniczna|alikwoty]]).
{{clear}}

==== Funkcja Weierstrassa ====
[[Plik:WeierstrassFunction.svg|thumb|300px|Funkcja Weierstrassa]]
Za pomocą szeregu trygonometrycznego definiowana jest [[funkcja Weierstrassa]], która jest [[Funkcja ciągła|ciągła]], jednak nie jest w żadnym punkcie [[Funkcja różniczkowalna|różniczkowalna]]<ref>{{cytuj pismo |nazwisko = Du Bois-Reymond |imię = Paul |autor link = Paul Du Bois-Reymond |tytuł = Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen |czasopismo = J. Reine Angew. Math |wolumin = 79 |rok = 1875 |strony = 21–37}}</ref>:
: <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x),</math>

gdzie <math>a</math> jest pewną liczbą z przedziału <math>(0,1)</math> natomiast <math>b</math> jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek <math>ab>1+\tfrac{3}{2}\pi.</math>

==== Funkcja Dirichleta ====
Za pomocą funkcji cosinus definiowana jest tzw. [[funkcja Dirichleta]], która przyjmuje wartość 1 dla argumentów wymiernych i 0 dla niewymiernych<ref>{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Cos/31/05/ |tytuł = Wolfram Mathworld – The Dirichlet function |data dostępu = 2009-03-19}}</ref>:
: <math>1_{\mathbb{Q}}(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x).</math>

=== Teoria liczb ===
[[Funkcja Möbiusa]] <math>\mu(n)</math> może być wyrażona trygonometrycznie<ref>{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/MoebiusMu/06/01/0001/ |tytuł = Mathworld – MoebiusMu[n] – Series representations |data dostępu = 2009-01-10}}</ref>:
: <math>\mu(n) = \sum_{\begin{smallmatrix} 1\leqslant x< n, \\ \operatorname{NWD}(x,n)=1 \end{smallmatrix}}\!\!\!\!\!\!\!\!\cos \tfrac{2\pi x}{n}.</math>

== Zastosowania poza matematyką ==
Funkcje trygonometryczne znalazły zastosowania w różnych [[Nauki ścisłe|naukach ścisłych]], w tym na pograniczu tych nauk z [[Nauki humanistyczne|humanistyką]] i [[Sztuka|sztuką]].

=== [[Nauki przyrodnicze]] ===
[[Plik:Lissajous curve 5by4.svg|thumb|150px|[[Krzywa Lissajous|Krzywe Lissajous]] powstają przez złożenie sinusoidalnych drgań o różnej częstotliwości w pionie i w poziomie]]

* [[akustyka]]: np. [[analiza harmoniczna]],
* [[astronomia]], [[nawigacja]], [[kartografia]], [[oceanografia]]: trygonometria sferyczna stosowana do powierzchni Ziemi
* astronomia i geodezja: [[paralaksa]] pozwala wyznaczać odległości bez przebywania ich, nawet tysięcy lat świetlnych.
* [[chemia]] i [[krystalografia]]: obliczanie odległości pomiędzy atomami w krysztale,
* [[fizyka]]: np. [[ruch harmoniczny]], [[Prawo Snelliusa|prawo załamania światła]], zob. też [[#Harmoniki|sekcję ''Harmoniki'']] tego artykułu,
* [[geofizyka]], [[sejsmologia]]: badanie [[Fala sejsmiczna|fal sejsmicznych]],
* [[optyka]]: [[Prawo Snelliusa|prawo załamania światła]], [[polaryzacja fali]],
* [[Chaos (matematyka)|teoria chaosu]]<ref>{{cytuj stronę |url = http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/31/05/ |tytuł = Mathworld – Logistic equation solution |język = en |data dostępu = 2009-01-10}}</ref>.

=== [[Nauki społeczne]] ===
* [[ekonomia]] (w szczególności analiza [[Rynek finansowy|rynków finansowych]]), [[Teoria prawdopodobieństwa|probabilistyka]], [[statystyka]], [[meteorologia]]: np. [[analiza harmoniczna]] [[Szereg czasowy|szeregów czasowych]]
* [[fonetyka]], [[Przetwarzanie języka naturalnego|analiza języka naturalnego]]: [[analiza harmoniczna]] głosek
* [[teoria muzyki]]: np. [[Harmoniczna|alikwoty]], [[Szereg harmoniczny (muzyka)|szereg harmoniczny]].

=== [[Nauki techniczne]] ===
* [[architektura]], [[mechanika]]: bezpośrednie zastosowanie do elementów trójkąta
* [[Elektrotechnika|elektryka]] i [[elektronika]]: np. przebiegi sinusoidalne [[Prąd zmienny|prądu zmiennego]]
* [[geodezja]], [[inżynieria lądowa]]: w szczególności [[niwelacja trygonometryczna]],
* [[grafika komputerowa]]: np. symulowanie odbicia i załamania światła w [[Śledzenie promieni|ray tracingu]]
* [[Kompresja (informatyka)|kompresja obrazu]]: np. przy kompresji [[JPEG]]
* [[kryptologia]]: w związku z [[#Teoria liczb|zastosowaniami w teorii liczb]],
* [[Diagnostyka obrazowa|obrazowanie medyczne]]: [[tomografia komputerowa]] i [[Ultrasonografia|USG]] wymagają obliczeń trygonometrycznych
* [[robotyka]]: np. [[algorytm sterowania sinusoidalnego]].

== Historia ==
{{Osobna sekcja|Trygonometria|Historia}}

== Polskie nazwy ==
Poloniści dopuszczają zarówno pisownię:
* przez „c”: cosinus, cotangens, secans, cosecans;
* przez „k”: kosinus, kotangens, sekans, kosekans.

Słowniki języka polskiego skłaniają się ku tym drugim jako bardziej naturalnym dla języka polskiego<ref>{{cytuj stronę |url = http://sjp.pwn.pl/lista.php?co=cosinus |tytuł = Hasło cosinus w słowniku języka polskiego PWN |archiwum = https://web.archive.org/web/20080603214844/http://sjp.pwn.pl/lista.php?co=cosinus |zarchiwizowano = 3 czerwca 2008 |data dostępu = 2008-04-12}}</ref>, jednak słowniki i encyklopedie matematyczne raczej nie używają form spolszczonych, podobnie w naukowej literaturze matematycznej są one rzadko spotykane.

Już pod koniec XVIII wieku [[Jan Śniadecki]] próbował wprowadzić całkowicie polskie odpowiedniki nazw i skrótów funkcji trygonometrycznych<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Śniadecki |imię = Jan |tytuł = Trygonometrya kulista analitycznie wyłożona |rok = 1820 |wydanie = 2}}</ref><ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Huber |imię = Maksymilian Tytus |tytuł = Pisma |url = https://books.google.com/books?id=oKIcAAAAIAAJ&q=wstawa+dostawa&dq=wstawa+dostawa&lr=lang_pl&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&pgis=1 |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |rok = 1957}}</ref> (w nawiasie proponowany skrót):
* sinus – ''wstawa'' (''wst''),
* cosinus – ''dostawa'' (''dost''),
* tangens – ''styczna'' (''sty''),
* cotangens – ''dostyczna'' (''dosty''),
* secans – ''sieczna'' (''sie''),
* cosecans – ''dosieczna'' (''dosie'').

Inne publikacje<ref name=":0" /> przypisują pomysł tej terminologii ks. [[Andrzej Gawroński (biskup krakowski)|Andrzejowi Gawrońskiemu]], który miał je zaproponować w swojej pracy<ref>"Geometrja dla Szkół Narodowych przez J. X. Gawrońskiego, Kanonika, Koadjutora Krakowskiego, Lektora J.K. Mości, na polski język z Francuskiego przełożona. W Warszawie dnia 30 października 1780."</ref> z 1780 roku. 

Propagowali je potem m.in.:
* [[Andrzej Radwański (chemik)|Andrzej Radwański]] w dziele „Słownik wyrazów grecko-łacińskich w poznawaniu Rody używanych… bezpłatnie dodany do dzieła Treść nauki przyrodzenia” wydanym w 1850 roku<ref>{{cytuj stronę |url = http://mpasternak.wel.wat.edu.pl/books/Anegdoty%20.htm |tytuł = Anegdoty matematyczne |nazwisko = Pasternak |imię = Mateusz |data dostępu = 2008-04-12}}</ref>. Zwalczał tam wszelkie nazwy pochodzące z greki i łaciny;
* prof. [[Maksymilian Thullie]] (1853–1939), rektor [[Politechnika Lwowska|Szkoły Politechnicznej we Lwowie]]. W latach 1918–1924 próbował forsować polskie nazwy w swoich pracach, np. w podręczniku ''Statyka budowli'' (wyd. IV, Lwów 1921), jednak nie przyjęły się<ref>{{cytuj stronę |url = http://riad.usk.pk.edu.pl/~naszapol/np40/sawicki.shtml |tytuł = Nasza Politechnika: Izydor Stella-Sawicki |nazwisko = Ciesielski |imię = Roman |nazwisko2 = Tyńska |imię2 = Katarzyna |data dostępu = 2008-04-12}}</ref>.

== Oznaczenia ==<!--Do tej sekcji prowadzi link wewnętrzny-->
W różnych językach stosuje się różne skróty funkcji trygonometrycznych. Oznaczenia kosinusa są jednakowe we wszystkich podanych, a sekansa i kosekansa – jednakowe prawie wszędzie, poza językiem francuskim, gdzie nad tymi skrótami zdarza się akcent: séc, coséc<ref name="fr1" /><ref name="fr2">{{cytuj książkę|nazwisko=Dupont|imię=Pascal|tytuł=Exercices de mathématiques: Volume 1, Algèbre et géométrie|url=https://books.google.com/books?id=X_aIbxRZcIcC&pg=PA98&dq=tg+ctg&lr=lang_fr&as_drrb_is=q&as_minm_is=1&as_miny_is=2009&as_maxm_is=12&as_maxy_is=2009&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES|wydanie=2|wydawca=De Boeck Université|rok=2005|strony=98|id={{ISBN|2-8041-4312-0}}, {{ISBN|978-2-8041-4312-1}}|data dostępu=2009-03-22}}</ref>. Różnice w skrótach pozostałych trzech funkcji przedstawia poniższa tabela:
{| class="wikitable"
!język
!sinus
!tangens
!cotangens
|-
!angielski<ref name="en1">{{cytuj książkę|nazwisko=Fogiel|imię=Max|tytuł=Handbook of mathematical, scientific, and engineering formulas, tables, functions, graphs, transforms|url=https://books.google.com/books?id=WMVNmRZRNmUC&pg=PA213&dq=sin+cos+tan+cot+sec+csc&lr=lang_en&as_drrb_is=q&as_minm_is=1&as_miny_is=2009&as_maxm_is=12&as_maxy_is=2009&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES|strony=213|język=en|wydawca=Research and Education Association|rok=1994|id={{ISBN|0-87891-521-4}}, {{ISBN|978-0-87891-521-7}}|data dostępu=2009-03-22}}</ref><ref name="en2">{{cytuj książkę|nazwisko=Nicolaides|imię=Anthony|tytuł=Pure Mathematics|url=https://books.google.com/books?id=42RTcXS6QuMC&pg=PA42&dq=sin+cos+tan+cot+sec+cosec&lr=lang_en&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES|strony=42|wydawca=Pass Publications|rok=2007|wydanie=3|id={{ISBN|1-872684-87-4}}, {{ISBN|978-1-872684-87-1}}|język=en|data dostępu=2009-03-22}}</ref>
|sin
|tan, tg<ref name="en3">{{cytuj książkę |tytuł = Journal of engineering for industry |url = https://books.google.com/books?id=qmQ7AAAAMAAJ&q=sin+cos+tg+ctg&dq=sin+cos+tg+ctg&lr=lang_en&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&pgis=1 |wydawca = American Society of Mechanical Engineers |rok = 1969 |język = en |data dostępu = 2009-03-22}}</ref>
|cot, ctg<ref name="en3" />, ctn<ref name="en4">{{cytuj książkę |nazwisko = Klein |imię = Felix |tytuł = Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis |url = https://books.google.com/books?id=CzdMAoIre9QC&pg=PA180&dq=sin+cos+ctn&lr=lang_en&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES#PPA180,M1 |strony = 180 |język = en |wydawca = Cosimo, Inc. |rok = 2007 |id = {{ISBN|1-60206-647-7}}, {{ISBN|978-1-60206-647-2}} |data dostępu = 2009-03-22}}</ref>
|-
!chiński<ref name="zh1">{{cytuj książkę|autor=Zhi-shu He Tian|tytuł=數學定理、公式暨習題詳解|url=https://books.google.com/books?id=Dqrw-V5Iv4UC&pg=PA133&dq=sin+cos+tan+cot&lr=lang_zh-CN&as_drrb_is=q&as_minm_is=1&as_miny_is=2009&as_maxm_is=12&as_maxy_is=2009&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES#PPA133,M1|strony=133|wydawca=五南圖書出版股份有限公司|rok=2007|język=zh|id={{ISBN|957-11-4564-5}}, {{ISBN|978-957-11-4564-8}}|data dostępu=2009-03-22}}</ref>
|sin
|tan, tg<ref name="zh2">{{cytuj książkę |tytuł = Ke xue shi ji kan |url = https://books.google.com/books?id=PvQGAAAAMAAJ&q=tg+ctg&dq=tg+ctg&lr=lang_zh-CN&as_drrb_is=q&as_minm_is=1&as_miny_is=2009&as_maxm_is=12&as_maxy_is=2009&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&pgis=1 |wydawca = Ke xue chu ban she |język = zh |data dostępu = 2009-03-23}}</ref>
|cot, ctg<ref name="zh2" />
|-
!fiński<ref name="fi">{{cytuj książkę|nazwisko=Heiskanen|imię=Weikko Aleksanteri|nazwisko2=Härmälä|imię2=Seppo|tytuł=Maastomittaus ja kartoitus|url=https://books.google.com/books?id=euUAAAAAMAAJ&q=sin+cos+tan+cot&dq=sin+cos+tan+cot&lr=lang_fi&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&pgis=1|wydawca=W. Söderström|rok=1972|język=fi|data dostępu=2009-03-23}}</ref>
|sin
|tan
|cot
|-
!francuski<ref name="fr2" />
|sin<ref name="fr1">{{cytuj książkę |nazwisko = Baptiste |imię = Jean |nazwisko2 = Delambre |imię2 = Joseph |tytuł = Histoire de l’astronomie du moyen âge |url = https://books.google.com/books?id=QREOAAAAQAAJ&pg=RA1-PA462&lpg=RA1-PA462&dq=cos%C3%A9c&source=bl&ots=G5HGjCENNu&sig=cNH55SLJ3ZOZrQI8T881WWbDgF8&hl=pl&ei=AVzGSaTmLMePsAap0fDQCw&sa=X&oi=book_result&resnum=2&ct=result |strony = 462 |język = fr |wydawca = V. Courcier |rok = 1819 |data dostępu = 2009-03-22}}</ref>
|tan<ref name="fr3">{{cytuj stronę |url = http://ccfd.crosemont.qc.ca/cours/mathapp/Module4/L4-4-1.html |tytuł = Trigonométrie du triangle rectangle |nazwisko = Desbiens |imię = Gilles |język = fr |archiwum = https://web.archive.org/web/20080220100345/http://ccfd.crosemont.qc.ca/cours/mathapp/Module4/L4-4-1.html |zarchiwizowano = 2008-02-20 |data dostępu = 2009-03-22}}</ref>, tang<ref name="fr1" />, tg<ref name="fr4">{{cytuj książkę |nazwisko = Caillemer |imię = André |nazwisko2 = Le Cocq |imię2 = Catherine |tytuł = Astronomie de position, géodésie |url = https://books.google.com/books?id=V6t6fS3-USsC&pg=PA187&dq=cotg&lr=lang_fr&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES |strony = 187 |język = fr |wydanie = 2 |wydawca = Editions TECHNIP |rok = 1998 |id = {{ISBN|2-7108-0439-5}}, {{ISBN|978-2-7108-0439-0}} |data dostępu = 2009-03-22}}</ref>
|cotan<ref name="fr3" />, cotg<ref name="fr4" />, cot<ref name="fr1" />, ctg
|-
!hiszpański<ref name="es1">{{cytuj książkę|nazwisko=Solá|imię=Arenas|tytuł=Matemáticas: fichas de la asignatura|url=https://books.google.com/books?id=_R6t5toeY_8C&pg=PT27&dq=sin+cos+tg+ctg&lr=lang_es&as_drrb_is=q&as_minm_is=1&as_miny_is=2009&as_maxm_is=12&as_maxy_is=2009&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES|strony=24|wydawca=Edicions Universitat Barcelona|id={{ISBN|84-475-3206-2}}, {{ISBN|978-84-475-3206-3}}|język=es|data dostępu=2009-03-22}}</ref><ref name="es2">{{cytuj książkę|nazwisko=Stewart|imię=James|nazwisko2=Redlin|imię2=Lothar|nazwisko3=Watson|imię3=Saleem|nazwisko4=Vidaurri|imię4=Héctor|nazwisko5=Alfaro|imię5=Alejandro|nazwisko6=Bruna|imię6=María|nazwisko7=Anzures|imię7=Josefina|nazwisko8=Fragoso|imię8=Francisco Sánchez|tytuł=Precálculo: Matemáticas para el cálculo|url=https://books.google.com/books?id=CiHF4fJ_ezwC&pg=PA411&dq=tan+cot&lr=lang_es&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES|strony=411|wydawca=Cengage Learning Editores|rok=2007|wydanie=5|id={{ISBN|970-686-638-8}}, {{ISBN|978-970-686-638-7}}|język=es|data dostępu=2009-03-22}}</ref>
|sen
|tan, tg<ref name="es4">{{cytuj książkę |nazwisko = Contreras |imię = Lira |nazwisko2 = Rosa |imię2 = Ana |tytuł = Geometria y Trigonometria |url = https://books.google.com/books?id=uhq23eFNdBkC&pg=PA117&dq=sen+cos+tg+ctg&lr=lang_es&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES |strony = 117 |wydawca = Ediciones Umbral |id = {{ISBN|970-9758-34-9}}, {{ISBN|978-970-9758-34-4}} |język = es |data dostępu = 2009-03-22}}</ref>, tag<ref name="es3">{{cytuj książkę |nazwisko = Vázquez |imię = Salvador Guillén |tytuł = Manual de matemáticas para acceso a la Universidad |url = https://books.google.com/books?id=LTPpERpY39YC&pg=PA441&vq=cotg&source=gbs_search_r&cad=0_1#PPA442,M1 |wydawca = Editorial Ramón Areces |rok = 1991 |id = {{ISBN|84-8004-006-8}}, {{ISBN|978-84-8004-006-8}} |strony = 1704 |język = es |data dostępu = 2009-03-22}}</ref>
|cot, cotg<ref name="es3" />, ctg<ref name="es4" />
|-
!niderlandzki<ref name="nl">{{cytuj książkę|nazwisko=Daems|imię=Jean-Pierre|nazwisko2=Jennekens|imię2=Edward|nazwisko3=Van Hooteghem|imię3=Valentijn|tytuł=Argument 4-5 – Goniometrie – Driehoeksmeting|url=https://books.google.com/books?id=gBnG-EhMr-8C&pg=PA211&dq=tan+cot&lr=lang_nl&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES|strony=211|wydawca=Uitgeverij De Boeck|rok=2004|id={{ISBN|90-455-0674-2}}, {{ISBN|978-90-455-0674-6}}|data dostępu=2009-03-23}}</ref>
|sin
|tan
|cot
|-
!indonezyjski<ref name="id">{{cytuj książkę|autor=Sulistiyono|autor2=Sri Kurnianingsih|autor3=Kuntarti|tytuł=Matematika Sma Dan Ma untuk Kelas XI Semester 1|url=https://books.google.com/books?id=DpXzG0WORh4C&pg=PA171&dq=sin+cos&lr=lang_id&as_drrb_is=q&as_minm_is=1&as_miny_is=2009&as_maxm_is=12&as_maxy_is=2009&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES#PPA172,M1|miejsce=Jakarta|isbn=979-734-502-5|strony=172|wydawca=ESIS|id={{ISBN|979-734-502-5}}, {{ISBN|978-979-734-502-0}}|język=id|data dostępu=2009-03-22}}</ref>
|sin
|tan
|cot
|-
!japoński<ref name="jp">{{cytuj książkę|autor=信州大学. 工学部|tytuł=信州大学工学部紀要|url=https://books.google.com/books?id=dG87AAAAIAAJ&q=sin+cos+tan+cot&dq=sin+cos+tan+cot&lr=lang_ja&as_drrb_is=q&as_minm_is=1&as_miny_is=2009&as_maxm_is=12&as_maxy_is=2009&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&pgis=1|wydawca=信州大学工学部|rok=1981|język=ja|data dostępu=2009-03-22}}</ref>
|sin
|tan
|cot
|-
!koreański<ref name="ko">{{cytuj książkę|autor=Yong-un Kim|tytuł=Tongyang ŭi kwahak kwa sasang: Hanʼguk kwahak ŭi kanŭngsŏng ŭl chʻajasŏ|url=https://books.google.com/books?id=mI9nAAAAIAAJ&q=sin+cos+tan+cot&dq=sin+cos+tan+cot&lr=lang_ko&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&pgis=1|wydawca=Ilchisa|rok=1984|język=ko|data dostępu=2009-03-23}}</ref>
|sin
|tan
|cot
|-
!litewski<ref name="lt">{{cytuj książkę|tytuł=Litovskiĭ fizicheskiĭ sbornik|url=https://books.google.com/books?id=8kItAAAAIAAJ&q=sin+cos+tg+ctg&dq=sin+cos+tg+ctg&lr=lang_lt&as_drrb_is=q&as_minm_is=1&as_miny_is=2009&as_maxm_is=12&as_maxy_is=2009&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&pgis=1|wydawca=Gos. izd-vo polit. i nauch. lit-ry|rok=1984|język=lt|data dostępu=2009-03-23}}</ref>
|sin
|tg
|ctg
|-
!niemiecki<ref name="de1">{{cytuj książkę|nazwisko=Mutschmann|imię=Johann|nazwisko2=Stimmelmayr|imię2=Fritz|nazwisko3=Knaus|imię3=Werner|tytuł=Taschenbuch der Wasserversorgung|url=https://books.google.com/books?id=nkUe2t174q4C&pg=PA873&dq=sin+cos+tan+cot&lr=lang_de&as_drrb_is=q&as_minm_is=1&as_miny_is=2009&as_maxm_is=12&as_maxy_is=2009&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES|strony=873|wydawca=Vieweg+Teubner Verlag|rok=2007|id={{ISBN|3-8348-0012-0}}, {{ISBN|978-3-8348-0012-1}}|język=de|data dostępu=2009-03-22}}</ref>
|sin
|tan, tg<ref name="de2">{{cytuj książkę |nazwisko = Geiger |imię = Hans |nazwisko2 = Scheel |imię2 = Karl |tytuł = Handbuch der Physik |url = https://books.google.com/books?id=2bUrAAAAYAAJ&q=sin+cos+tg+ctg+sec&dq=sin+cos+tg+ctg+sec&lr=&pgis=1 |wydawca = Julius Springer |rok = 1928 |język = de |data dostępu = 2009-03-22}}</ref>
|cot, ctg<ref name="de2" />
|-
!portugalski<ref name="pt2">{{cytuj książkę|tytuł=Dubbel Manual Da Construcao de Maquinas|url=https://books.google.com/books?id=q9RE_QnAI3MC&pg=PA68&dq=sin+cos+tan+cot&lr=lang_pt&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES|strony=68|wydawca=Hemus|id={{ISBN|85-289-0270-6}}, {{ISBN|978-85-289-0270-9}}|język=pt|data dostępu=2009-03-22}}</ref>
|sen<ref name="pt1">{{cytuj książkę |tytuł = Memórias da Academia das ciências de Lisboa, classe de ciências |url = https://books.google.com/books?id=kADRAAAAMAAJ&q=lisboa+sen+tg&dq=lisboa+sen+tg&lr=&pgis=1 |język = pt |miejsce = Lisbona |rok = 1967 |data dostępu = 2009-03-22}}</ref>, sin
|tan, tg<ref name="pt1" /><ref name="pt3">{{cytuj książkę |nazwisko = Gonçalves |imię = Antônio |nazwisko2 = Couto |imię2 = Moreira |tytuł = Geometria descritiva e insolação |url = https://books.google.com/books?id=56BcAAAAMAAJ&q=tg+ctg&dq=tg+ctg&lr=lang_pt&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&pgis=1 |rok = 1961 |język = pt |data dostępu = 2009-03-22}}</ref>
|cot, ctg<ref name="pt3" />
|-
!rosyjski<ref name="ru">{{cytuj książkę|tytuł=Тесты и экзаменационные задания по математике за курс средней школы (ЕГЭ): Учебное пособие|url=https://books.google.com/books?id=HDs1yUo0-wIC&pg=RA1-PA160&dq=sin+cos+tg+ctg&lr=lang_ru&as_drrb_is=q&as_minm_is=1&as_miny_is=2009&as_maxm_is=12&as_maxy_is=2009&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES|strony=160|wydawca=Издательский дом „Питер”|id={{ISBN|5-469-00278-0}}, {{ISBN|978-5-469-00278-9}}|język=ru|data dostępu=2009-03-22}}</ref>
|sin
|tg
|ctg
|-
!turecki<ref name="tr1">{{cytuj książkę|autor=Orta Doğu|tytuł=Isi transferí|url=https://books.google.com/books?lr=lang_tr&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&id=H3k7AAAAIAAJ&dq=sin+tan+cot&q=tan+cos&pgis=1#search_anchor|język=tr|data dostępu=2009-03-23}}</ref>
|sin
|tan
|cot
|-
!ukraiński<ref name="ukr">{{cytuj książkę|autor=Mykola Platonovych Bahan|tytuł=Ukraïnsʹka radi͡a͡nsʹka entsyklopedii͡a͡|url=https://books.google.com/books?id=XB9r0DP78u4C&q=sin+cos+tg+ctg&dq=sin+cos+tg+ctg&lr=lang_uk&as_drrb_is=q&as_minm_is=1&as_miny_is=2009&as_maxm_is=12&as_maxy_is=2009&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&pgis=1|wydawca=Akademii͡a nauk Ukr. Radi͡ansʹkoï Sot͡sialistichnoï Respubliky|rok=1959|język=uk|data dostępu=2009-03-22}}</ref>
|sin
|tg
|ctg
|-
!węgierski<ref name="hu1">{{cytuj książkę|tytuł=A Magyar Tudományos Akadémia Matematikai és Fizikai Tudományok Ostályának kózleményei|url=https://books.google.com/books?id=IgC7AAAAIAAJ&q=sin+cos+ctg&dq=sin+cos+ctg&lr=lang_hu&as_drrb_is=q&as_minm_is=1&as_miny_is=2009&as_maxm_is=12&as_maxy_is=2009&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&pgis=1|rok=1974|język=hu|data dostępu=2009-03-22}}</ref>
|sin
|tg
|ctg
|-
!włoski<ref name="it2">{{cytuj książkę|nazwisko=Stewart|imię=James|tytuł=Calcolo. Funzioni di una variabile|url=https://books.google.com/books?id=bGcuJx36hdoC&pg=PT28&dq=sin+tan&lr=lang_it&as_drrb_is=q&as_minm_is=1&as_miny_is=2009&as_maxm_is=12&as_maxy_is=2009&as_brr=3&as_pt=ALLTYPES#PPA222,M1|strony=222|wydawca=Apogeo Editore|rok=2001|id={{ISBN|88-7303-747-X}}, {{ISBN|978-88-7303-747-7}}|język=it|data dostępu=2009-03-22}}</ref>
|sen<ref name="it1">{{cytuj książkę |nazwisko = Andreini |imię = Pierangelo |tytuł = Manuale dell’ingegnere meccanico |url = https://books.google.com/books?id=PRFOVZrfWXoC&pg=PA16&dq=tg+ctg&lr=lang_it&as_drrb_is=q&as_minm_is=1&as_miny_is=2009&as_maxm_is=12&as_maxy_is=2009&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES |język = it |strony = 16 |wydanie = 2 |wydawca = Hoepli Editore |rok = 2002 |id = {{ISBN|88-203-3380-5}}, {{ISBN|978-88-203-3380-5}} |data dostępu = 2009-03-22}}</ref>, sin
|tan, tg<ref name="it1" />
|cot, ctg<ref name="it1" />
|}

== Związki z innymi funkcjami ==
Funkcjami trygonometrycznymi definiuje się inne pojęcia matematyczne, np.:
* inne [[funkcje elementarne]] jak [[Harmonika (matematyka)|harmoniki]], [[Funkcje cyklometryczne|funkcje kołowe]]<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3903286 | tytuł = Funkcje elementarne | data dostępu = 2023-12-12}}</ref><ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3888684 | tytuł = Funkcje cyklometryczne | data dostępu = 2023-12-12}}</ref> i [[funkcja sinc]];
* niektóre [[funkcje specjalne]] jak [[Sinus i cosinus całkowy|sinus całkowy i cosinus całkowy]], [[Całka Fresnela|całki Fresnela]], [[Harmoniki sferyczne|funkcje sferyczne i kuliste]];
* inne [[Funkcja rzeczywista|funkcje rzeczywiste]] jak [[funkcja Weierstrassa]];
* [[Krzywa|krzywe]] będące [[Wykres funkcji|wykresami]] tych funkcji w dziedzinie rzeczywistej; dla sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa te krzywe to odpowiednio '''sinusoida'''<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3975509 | tytuł = sinusoida | data dostępu = 2023-12-12}}</ref>, '''kosinusoida'''<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3887885 | tytuł = cosinusoida | data dostępu = 2023-12-12}}</ref>, '''tangensoida'''<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3985229 | tytuł = tangensoida | data dostępu = 2023-12-12}}</ref> i '''kotangensoida'''<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3887929 | tytuł = cotangensoida | data dostępu = 2023-12-12}}</ref><ref name="poradnik_114_116">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=114–116}}.</ref>;
* inne krzywe jak [[sinusoida zagęszczona]].

Do funkcji trygonometrycznych nawiązuje też nazewnictwo niektórych innych funkcji:
* elementarnych jak [[funkcje hiperboliczne]], mające analogiczne własności, oraz odwrotne do nich [[Funkcje hiperboliczne odwrotne|funkcje polowe]];
* specjalnych jak [[całkowy sinus hiperboliczny]].

=== Funkcje odwrotne do trygonometrycznych ===
{{osobny artykuł|Funkcje cyklometryczne}}
[[Funkcja odwrotna|Funkcje odwrotne]] do trygonometrycznych nazywane są też funkcjami kołowymi lub cyklometrycznymi. Ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych funkcje te są do nich odwrotne jedynie w przedziale obejmującym jeden okres<ref name="poradnik_117">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=117}}.</ref>.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Nazwa
! Zapis
! Odwrotna do
! Dziedzina
! Przeciwdziedzina
|-
| arcus sinus || <math>y=\arcsin x</math> || <math>x=\sin y</math> || <math>[-1, 1]</math> || <math>[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]</math>
|-
| arcus cosinus || <math>y=\arccos x</math> || <math>x=\cos y</math> || <math>[-1, 1]</math> || <math>[0, \pi]</math>
|-
| arcus tangens || <math>y=\operatorname{arctg} x</math> || <math>x=\operatorname{tg} y</math> || <math>\mathbb{R}</math> || <math>(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2})</math>
|-
| arcus cotangens || <math>y=\operatorname{arcctg} x</math> || <math>x=\operatorname{ctg} y</math> || <math>\mathbb{R}</math> || <math>(0, \pi)</math>
|-
| arcus secans || <math>y=\arcsec x</math> || <math>x=\sec y</math> || <math>\mathbb{R}\setminus (-1, 1)</math> || <math>[0,\tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi]</math>
|-
| arcus cosecans || <math>y=\operatorname{arccosec} x</math> || <math>x=\operatorname{cosec} y</math> || <math>\mathbb{R}\setminus (-1, 1)</math> || <math>[-\tfrac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \tfrac{\pi}{2}]</math>
|}

=== Harmoniki ===<!--Do tej nazwy sekcji odwołuje się link wewnętrzny-->
[[Plik:Simple harmonic motion animation.gif|thumb|200px|Sinusoidalny ruch prostego oscylatora]]
{{osobny artykuł|Harmonika (matematyka)}}
Funkcje postaci
: <math>u(t) = A \sin(\omega t + \phi),</math>

gdzie:
* <math>A</math> – [[amplituda]],
* <math>\omega</math> – [[prędkość kątowa]] ([[pulsacja]]),
* <math>\phi</math> – faza początkowa

są nazywane harmonikami<ref name="poradnik_237">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=237}}.</ref>. Funkcje sinus i cosinus są ich szczególnymi przypadkami. Harmoniki mają duże znaczenie w praktyce, przy analizie funkcji okresowych. [[Kombinacja liniowa]] kilku harmonik o tej samej częstotliwości jest ciągle harmoniką o tej częstotliwości.

Harmoniki stosowane są w [[Fizyka|fizyce]] przy badaniu wszelkich zjawisk okresowych, np. [[Drgania|drgań]]. Wiele z tych zjawisk, np. [[masa na sprężynie]], [[wahadło]] przy niewielkim wychyleniu albo [[Obwód rezonansowy LC|elektryczny obwód rezonansowy]], w wyidealizowanym przypadku (przy braku strat [[Energia (fizyka)|energii]]), opisuje [[równanie różniczkowe]]:
: <math>x'' = -kx,</math>

którego rozwiązaniami są harmoniki.

=== Funkcje hiperboliczne === <!--Do tej nazwy sekcji odwołuje się link wewnętrzny-->
{{osobny artykuł|Funkcje hiperboliczne}}
[[Plik:Sinh cosh tanh.svg|thumb|300px|Sinus, cosinus i tangens hiperboliczny]]

Jak podano w sekcji [[#Definicja za pomocą równań funkcyjnych|Definicja za pomocą równań funkcyjnych]], funkcje sinus i cosinus można zdefiniować w następujący sposób<ref name="atlas_295" />:
: <math>\left\{ \begin{matrix}
W1\colon & s(x_1-x_2)=s(x_1)c(x_2)-c(x_1)s(x_2) \\
W2\colon & c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)+s(x_1)s(x_2) \\
W3\colon & \lim_{x\to 0}\tfrac{s(x)}{x}=1
\end{matrix} \right.</math>

Jeśli warunek W2 zmienić na:
: <math>W2'\colon\quad c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)-s(x_1)s(x_2),</math>

wówczas warunki W1, W2', W3 będą spełnione przez inne funkcje, które przez analogię nazywane są '''sinusem hiperbolicznym (sinh)''' i '''cosinusem hiperbolicznym (cosh)'''{{odn|Reinhardt|Soeder|2006|s=297}}.

Analogicznie jak dla funkcji trygonometrycznych definiuje się też tangens, cotangens, secans i cosecans hiperboliczny jako odpowiednie ilorazy z udziałem sinusa i cosinusa hiperbolicznego. Istnieje także [[całkowy sinus hiperboliczny]] i [[całkowy cosinus hiperboliczny]].

[[Plik:Hyperbolic area 1.png|thumb|200px|Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji hiperbolicznych]]
[[Plik:Circle area 1.png|thumb|200px|Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji trygonometrycznych]]
Także [[#Definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazw|definicja na okręgu jednostkowym]] dla funkcji trygonometrycznych ma swój odpowiednik hiperboliczny. Zamiast okręgu jednostkowego
: <math>x^2+y^2=1</math>

należy wziąć [[Hiperbola (matematyka)|hiperbolę]] o równaniu
: <math>x^2-y^2=1.</math>

Na okręgu jednostkowym argument funkcji trygonometrycznych odpowiadał mierze kąta, jednak jest ona równa polu wycinka kołowego, symetrycznego względem osi OX. Podobnie w przypadku funkcji hiperbolicznych argumentowi odpowiada pole odpowiedniego wycinka.
Biorąc długości odcinków, które na okręgu odpowiadały funkcjom sinus, cosinus i tangens, uzyskuje się na hiperboli sinus, cosinus i tangens hiperboliczny<ref name="poradnik_253">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=253}}.</ref>.

Istnieją też inne analogie. Dla funkcji trygonometrycznych zachodzą równości, podane w sekcji [[#Wzór Eulera|Wzór Eulera]].

Analogiczne wzory występują dla funkcji hiperbolicznych<ref name="Miś" />:
: <math>\begin{align}
\sinh x &= \tfrac{e^x - e^{-x}}{2} \\
\cosh x &= \tfrac{e^x + e^{-x}}{2} \\
\operatorname{tgh} x &= \tfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \\
\operatorname{ctgh} x &= \tfrac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}
\end{align}</math>

Istnieją też analogie niektórych tożsamości trygonometrycznych<ref name="Miś" />:
: <math>\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y</math>
: <math>\cosh^2 x-\sinh^2 x=1</math>
: <math>\cosh 2x=\cosh^2 x+\sinh^2 x</math>

Podobieństwa te wynikają z głębokiej symetrii pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a hiperbolicznymi, przejawiającej się także po ich uogólnieniu na argumenty zespolone<ref name="Miś">{{cytuj książkę |nazwisko = Miś |imię = Bogdan |autor link = Bogdan Miś |tytuł = Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki |wydawca = Wydawnictwa Naukowo-Techniczne |miejsce = Warszawa |rok = 1989 |isbn = 83-204-0920-9 |strony = 164}}</ref>.

== Zobacz też ==
* [[cosinusy kierunkowe]]
* [[kąt między dwiema krzywymi]]
* [[sinusoida Krzyżanowskiego]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
<references>
<ref name=":0">{{Cytuj |autor = Stanisław Kołomyjski |tytuł = O polskie nazwy funkcji trygonometrycznych |czasopismo = Inżynier Kolejowy |data = 1934 |wolumin=XI |numer=1 |s=22 | url=https://bcpw.bg.pw.edu.pl/Content/5523/PDF/16ik34_nr01.pdf| archiwum=https://web.archive.org/web/20240603154439/https://bcpw.bg.pw.edu.pl/Content/5523/PDF/16ik34_nr01.pdf| zarchiwizowano=2024-06-03}}</ref>
<ref name="haversin">{{cytuj książkę |nazwisko = Zwillinger |imię = D. |tytuł = (red.) Spherical Geometry and Trigonometry |seria = CRC Standard Mathematical Tables and Formulae |miejsce = Boca Raton, FL |wydawca = CRC Press |strony = 468-471, § 6.4 |rok = 1995}}</ref>
<ref name="poradnik_253">{{odn|ref=nie|Bronsztejn|Siemiendiajew|1976|s=253}}.</ref>
</references>

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Bronsztejn |imię = Igor N. |nazwisko2 = Siemiendiajew |imię2 = Konstantin A. |tytuł = Matematyka, poradnik encyklopedyczny |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1976 |wydanie = VI |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Filist |imię = Lidia |nazwisko2 = Malina |imię2 = Artur |nazwisko3 = Solecka |imię3 = Alicja |tytuł = Słownik encyklopedyczny – matematyka |rok = 1998 |wydawca = [[Wydawnictwo Europa]] |isbn = 83-85336-06-0}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Leja |imię = Franciszek |autor link = Franciszek Leja |tytuł = Funkcje zespolone |miejsce = Warszawa |wydawca = PWN |rok = 1976}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Leja |imię = Franciszek |autor link = Franciszek Leja |tytuł = Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych |wydawca = PWN |rok = 1954 |miejsce = Warszawa |wydanie = III}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Reinhardt |imię = Fritz |nazwisko2 = Soeder |imię2 = Heinrich |tytuł = Atlas matematyki |wydawca = [[Prószyński i S-ka]] |isbn = 83-7469-189-1 |miejsce = Warszawa |data = 2006 |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = /media/articles/2022/02/delta-2022-02-sinus-i-cosinus-w-akcji.pdf | autor = Jarosław Górnicki| tytuł = Sinus i cosinus w akcji | data = luty 2022 | data dostępu = 2023-12-10 }}
* {{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=WhotIpdpz6c Funkcje trygonometryczne cz. I Definicje i miara łukowa kąta]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].

{{Trygonometria}}
{{Funkcje elementarne}}
{{Okręgi}}
{{Krzywe stożkowe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Trygonometria]]