Tekst źródłowy strony Izometria

[[Plik:Two Reflection Rotation.svg|mały|Przykład izometrii: [[obrót]] jako złożenie dwóch [[Odbicie|odbić]].]]

'''Izometria''' ([[język grecki|gr.]] ''isos'' – równy, ''métron'' – miara), także '''przekształcenie izometryczne''' – [[funkcja]] zachowująca [[Odległość|odległości]] między [[punkt (geometria)|punktami]]<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Izometria | id = 3916002 | data dostępu = 2021-07-28}}</ref> [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]]. Jest to więc ''[[izomorfizm]] izometryczny''. W [[geometria|geometrii]] figury, między którymi istnieje izometria (są ''izometryczne''), nazywane są ''[[Przystawanie (geometria)|przystającymi]]''.

== Geometria euklidesowa ==
{{podziel sekcję|grupa euklidesowa}}
{{Zobacz też|przystawanie (geometria)}}
[[Przekształcenie geometryczne|Przekształcenie]] <math>f</math> [[geometria euklidesowa|płaszczyzny euklidesowej]] lub [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] nazywa się '''izometrią''', jeżeli zachowuje odległość dowolnych dwóch jej punktów <math>A, B,</math> tzn.
: <math>A^* B^* = AB,</math>

gdzie <math>X^* = f(X)</math> oznacza [[Obraz (matematyka)|obraz]] punktu <math>X.</math>

Każde dwa przystające [[odcinek|odcinki]] są równej długości, a każde dwa przystające [[kąt]]y są jednakowej rozwartości (i na odwrót: równość odcinków i miar kątów oznacza, że są one przystające). Podobnie ma się rzecz z [[okrąg|okręgami]] o równych promieniach. Dowolne dwie [[prosta|proste]] i [[półprosta|półproste]] są przystające. Izometrie zachowują także współliniowość punktów i ich kolejność na prostej. Więcej o przystawaniu trójkątów można znaleźć w artykule dot. [[przystawanie (geometria)|przystawania]]. Przystawanie wielokątów opisuje się dzieląc je na trójkąty. Ważnym niezmiennikiem izometrii jest [[pole powierzchni|pole]] i [[objętość]] [[Figura geometryczna|figury geometrycznej]].

Izometria [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]], która jest [[przekształcenie liniowe|przekształceniem liniowym]] jest też [[Przekształcenie unitarne|przekształceniem ortogonalnym]].

=== Parzystość ===
Pojęcie ''parzystości'' izometrii jest blisko związane z pojęciem [[orientacja (matematyka)|orientacji]]. Na prostej można wyróżnić dwa „kierunki”, mianowicie w „lewo” i w „prawo”. Jest to dość intuicyjne: na płaszczyźnie należy wziąć pod uwagę trójkąt – jego wierzchołki można opisać od „zgodnie z ruchem wskazówek zegara” lub na odwrót. W przestrzeni, co może być zaskakujące, również wyróżnia się tylko dwie orientacje: „prawoskrętną” i „lewoskrętną” (więcej, w każdej przestrzeni euklidesowej wyróżnia się dokładnie dwie orientacje). Ponieważ każda [[przestrzeń euklidesowa]] ma [[Baza standardowa|bazę kanoniczną]], to właśnie orientację zgodną z nią nazywa się ''dodatnią'', a niezgodną – ''ujemną'' (przyjęło się określać dodatnimi orientacje: „w prawo”, „przeciwnie do ruchu wskazówek zegara” oraz „prawoskrętną”).

Na płaszczyźnie każda [[symetria osiowa]] zmienia orientację. Izometrię płaszczyzny można przedstawić jako [[złożenie funkcji|złożenie]] co najwyżej trzech symetrii osiowych. Nieparzysta liczba symetrii w tej postaci powoduje zmianę orientacji – takie izometrie nazywa się '''nieparzystymi'''. Jeżeli daną izometrię da się przedstawić jako złożenie parzystej (lub zerowej) liczby symetrii – taka izometria nie zmienia orientacji – to nazywa się ją '''parzystą'''.

Podobnie ma się rzecz z izometriami przestrzeni trójwymiarowej – każdą z nich można przedstawić w postaci złożenia co najwyżej czterech [[symetria płaszczyznowa|symetrii płaszczyznowych]], które zmieniają orientację przestrzeni. Te, które można przedstawić jako złożenie nieparzystej liczby symetrii nazywa się '''nieparzystymi''', pozostałe zaś – '''parzystymi'''.

Algebraicznie można opisać jak następuje. [[Wyznacznik]] izometrii ([[macierz przekształcenia liniowego|macierzy przekształcenia]] izometrycznego) jest równy <math>1</math> bądź <math>-1.</math> Te, które mają wyznacznik równy <math>1</math> zachowują orientację, a więc są parzyste, te które mają wyznacznik równy <math>-1</math> zmieniają orientację, czyli są nieparzyste. Wówczas <math>\det\colon \operatorname{Iso} \to \{-1, 1\}</math> jest [[homomorfizm]]em [[grupa (matematyka)|grupy]] izometrii w grupę dwuelementową. [[Jądro (algebra)|Jądrem]] tego przekształcenia są izometrie parzyste i jako takie tworzą [[podgrupa normalna|podgrupę normalną]] w grupie izometrii. Ponieważ identyczność jest parzysta, to izometrie nieparzyste nie stanowią grupy, generują one jednak całą grupę izometrii.

=== Klasyfikacja izometrii ===
; Prosta
Na prostej można wyróżnić następujące rodzaje izometrii{{odn|Kordos|Szczerba|1976|s=289}}:
* parzyste
** [[funkcja tożsamościowa|tożsamość]],
** [[translacja (matematyka)|przesunięcie]] (translacja);
* nieparzyste
** [[symetria środkowa]].

; Płaszczyzna
Na płaszczyźnie można wyróżnić następujące rodzaje izometrii{{odn|Kordos|Szczerba|1976|s=303}}:
* parzyste
** [[funkcja tożsamościowa|tożsamość]],
** [[translacja (matematyka)|przesunięcie]] (translacja),
** [[symetria środkowa]],
** [[obrót|obrót wokół punktu]];
* nieparzyste
** [[symetria osiowa]],
** [[symetria z poślizgiem]] (o [[wektor]] niezerowy).

; Przestrzeń trójwymiarowa
W przestrzeni wyróżnia się następujące rodzaje izometrii{{odn|Kordos|Szczerba|1976|s=328}}:
* parzyste
** [[funkcja tożsamościowa|tożsamość]],
** [[translacja (matematyka)|przesunięcie]] (translacja),
** [[symetria osiowa]],
** [[symetria z poślizgiem|symetria osiowa z poślizgiem]],
** obrót wokół prostej,
** [[ruch śrubowy]] (obrót wokół prostej z przesunięciem);
* nieparzyste
** [[symetria płaszczyznowa]],
** [[symetria z poślizgiem|symetria płaszczyznowa z poślizgiem]] (o wektor niezerowy),
** [[symetria środkowa]],
** [[symetria obrotowa]] (obrót wokół prostej z symetrią).

== Przestrzenie metryczne ==
Niech <math>(X, d_X)</math> i <math>(Y, d_Y)</math> będą [[przestrzeń metryczna|przestrzeniami metrycznymi]]. [[Funkcja|Odwzorowanie]] <math>f\colon X \to Y</math> nazywa się ''izometrią'' (bądź ''odwzorowaniem zachowującym odległość''), jeżeli dla dowolnych <math>a,b \in X</math> spełniony jest warunek
: <math>d_Y(f(a), f(b)) = d_X(a, b).</math>

Odwzorowanie zachowujące odległość jest koniecznie [[funkcja różnowartościowa|iniektywne]] (różnowartościowe) oraz [[funkcja ciągła|ciągłe]]. Każda izometria przestrzeni metrycznych jest zanurzeniem homeomorficznym.

Przestrzenie metryczne ''X'' i ''Y'' nazywa się ''izometrycznymi'', jeżeli istnieje izometria z ''X'' na ''Y''. [[Zbiór]] izometrii przestrzeni metrycznej w siebie jest [[grupa (matematyka)|grupą]] względem [[złożenie funkcji|składania przekształceń]] nazywana '''[[grupa izometrii|grupą izometrii]]''' będącą podgrupą [[grupa permutacji|grupy wszystkich bijekcji]] danej przestrzeni metrycznej w siebie.

Każda przestrzeń metryczna jest izometryczna z gęstym podzbiorem [[przestrzeń zupełna|zupełnej przestrzeni metrycznej]].

== Przykłady ==
* Przekształcenie identycznościowe przestrzeni metrycznej w siebie jest izometrią.
* Dowolne [[Symetria figury|odbicie]], [[translacja (matematyka)|przesunięcie]] i [[obrót]] są izometriami globalnymi przestrzeni euklidesowych. Zob. [[grupa euklidesowa]].
* Izometryczne [[Przekształcenie liniowe|przekształcenia liniowe]] <math>\mathbb C^n</math> w siebie opisywane są przez [[macierz unitarna|macierze unitarne]]. Izometryczny, [[Surjekcja|suriektywny]] [[Przekształcenie liniowe|operator liniowy]] na [[przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]] jest nazywany ''[[operator unitarny|operatorem unitarnym]]''.
* W [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] <math>\mathbb R^2</math> przekształcenie określone wzorem
:: <math>(x, y) \to (x, -y)</math>
: jest izometrią.
* Przekształcenie [[przestrzeń l1|przestrzeni ℓ<sub>1</sub>]] w siebie określone wzorem
:: <math>(x_1, x_2, x_3, \dots) \to (0, x_1, x_2, x_3, \dots)</math>
: jest izometrią, lecz nie jest [[Surjekcja|surjekcją]].

== Izometrie liniowe ==
Dla danych dwóch [[przestrzeń unormowana|przestrzeni unormowanych]] <math>V</math> oraz <math>W</math> '''izometrią liniową''' nazywa się takie [[przekształcenie liniowe]] <math>f\colon V \to W,</math> które zachowuje normę:
: <math>\|f(v)\| = \|v\|</math>

dla wszystkich <math>v \in V.</math> Izometrie liniowe są przekształceniami zachowującymi odległości w powyższym sensie. Są one izometriami globalnymi wtedy i tylko wtedy, gdy są [[Surjekcja|suriekcjami]].

Z [[twierdzenie Mazura-Ulama|twierdzenia Mazura-Ulama]] wynika, że dowolna izometria między przestrzeniami unormowanymi nad <math>\mathbb R</math> jest [[przekształcenie afiniczne|przekształceniem afinicznym]].

== Uogólnienia ==
* Dla ustalonej dodatniej liczby rzeczywistej <math>\varepsilon</math> odwzorowanie <math>f\colon X \to Y</math> przestrzeni metrycznych nazywa się '''<math>\varepsilon</math>-izometrią''' (lub '''aproksymacją [[Felix Hausdorff|Hausdorffa]]'''), jeżeli
*# dla <math>x, x' \in X</math> zachodzi <math>|d_Y(f(x), f(x')) - d_X(x, x')| < \varepsilon</math> oraz
*# dla każdego <math>y \in Y</math> istnieje punkt <math>x \in X,</math> że <math>d_Y(y, f(x)) < \varepsilon.</math>

: Innymi słowy <math>\varepsilon</math>-izometria zachowuje odległości wewnątrz <math>\varepsilon</math> i nie pozostawia żadnego elementu przeciwdziedziny w odległości większej niż <math>\varepsilon</math> od obrazu elementu dziedziny. Uwaga: od <math>\varepsilon</math>-izometrii nie wymaga się, by były [[funkcja ciągła|ciągłe]].

* Innym użytecznym uogólnieniem jest '''[[quasi-izometria]]'''.

== Twierdzenie Beckmana-Quarlesa ==
'''Twierdzenie Beckmana-Quarlesa''' mówi, że dowolne przekształcenie [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] wymiaru co najmniej dwa w siebie, które zachowuje własność bycia w odległości jednostkowej musi być izometrią<ref>Jacek Chmieliński „Wybrane zagadnienia analizy funkcjonalnej”, wykład monograficzny dla V roku matematyki, data 2005/2006, s. 10.</ref>.

== Zobacz też ==
* [[rzut izometryczny]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kordos |imię = Marek |autor link = Marek Kordos |nazwisko2 = Szczerba |imię2 = Lesław Włodzimierz |tytuł = Geometria dla nauczycieli |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1976 | odn = tak }}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = 2015/11/maly-wybor-i-dobrze/ | autor = Joanna Jaszuńska | tytuł = Mały wybór? I dobrze! | data = listopad 2015 | data dostępu = 2024-10-30 }}
* {{MathWorld | adres = Isometry | tytuł = Isometry }} [dostęp 2023-08-26].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Isometric_mapping Isometric mapping]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-26].

{{Funkcje ciągłe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Przekształcenia geometryczne]]