Izometria

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Przykład izometrii: obrót jako złożenie dwóch odbić.

Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi istnieje izometria (są izometryczne) nazywne są przystającymi.

Geometria euklidesowa[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: przystawanie (geometria).

Przekształcenie f płaszczyzny euklidesowej lub przestrzeni euklidesowej nazywa się izometrią, jeżeli zachowuje odległość dowolnych dwóch jej punktów A, B, tzn.

A^* B^* = AB,

gdzie X^* = f(X) oznacza obraz punktu X.

Każde dwa przystające odcinki są równej długości, a każde dwa przystające kąty są jednakowej rozwartości (i na odwrót: równość odcinków i miar kątów oznacza, że są one przystające). Podobnie ma się rzecz z okręgami o równych promieniach. Dowolne dwie proste i półproste są przystające. Izometrie zachowują także współliniowość punktów i ich kolejność na prostej. Więcej o przystawaniu trójkątów można znaleźć w artykule dot. przystawania. Przystawanie wielokątów opisuje się dzieląc je na trójkąty. Ważnym niezmiennikiem izometrii jest pole i objętość figury geometrycznej.

Izometria przestrzeni euklidesowej, która jest przekształceniem liniowym jest też przekształceniem ortogonalnym.

Parzystość[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie parzystości izometrii jest blisko związane z pojęciem orientacji. Na prostej można wyróżnić dwa „kierunki”, mianowicie w „lewo” i w „prawo”. Jest to dość intuicyjne: na płaszczyźnie należy wziąć pod uwagę trójkąt – jego wierzchołki można opisać od „zgodnie z ruchem wskazówek zegara” lub na odwrót. W przestrzeni, co może być zaskakujące, również wyróżnia się tylko dwie orientacje: „prawoskrętną” i „lewoskrętną” (więcej, w każdej przestrzeni euklidesowej wyróżnia się dokładnie dwie orientacje). Ponieważ każda przestrzeń euklidesowa ma bazę kanoniczną, to właśnie orientację zgodną z nią nazywa się dodatnią, a niezgodną – ujemną (przyjęło się określać dodatnimi orientacje: „w prawo”, „przeciwnie do ruchu wskazówek zegara” oraz „prawoskrętną”).

Na płaszczyźnie każda symetria osiowa zmienia orientację. Izometrię płaszczyzny można przedstawić jako złożenie co najwyżej trzech symetrii osiowych. Nieparzysta liczba symetrii w tej postaci powoduje zmianę orientacji – takie izometrie nazywa się nieparzystymi. Jeżeli daną izometrię da się przedstawić jako złożenie parzystej (lub zerowej) liczby symetrii – taka izometria nie zmienia orientacji – to nazywa się ją parzystą.

Podobnie ma się rzecz z izometriami przestrzeni trójwymiarowej – każdą z nich można przedstawić w postaci złożenia co najwyżej czterech symetrii płaszczyznowych, które zmieniają orientację przestrzeni. Te, które można przedstawić jako złożenie nieparzystej liczby symetrii nazywa się nieparzystymi, pozostałe zaś – parzystymi.

Algebraicznie można opisać jak następuje. Wyznacznik izometrii (macierzy przekształcenia izometrycznego) jest równy 1 bądź -1. Te, które mają wyznacznik równy 1 zachowują orientację, a więc są parzyste, te które mają wyznacznik równy -1 zmieniają orientację, czyli są nieparzyste. Wówczas \det\colon \operatorname{Iso} \to \{-1, 1\} jest homomorfizmem grupy izometrii w grupę dwuelementową. Jądrem tego przekształcenia są izometrie parzyste i jako takie tworzą podgrupę normalną w grupie izometrii. Ponieważ identyczność jest parzysta, to izometrie nieparzyste nie stanowią grupy, generują one jednak całą grupę izometrii.

Klasyfikacja izometrii[edytuj | edytuj kod]

Prosta

Na prostej można wyróżnić następujące rodzaje izometrii:

Płaszczyzna

Na płaszczyźnie można wyróżnić następujące rodzaje izometrii:

Przestrzeń trójwymiarowa

W przestrzeni wyróżnia się następujące rodzaje izometrii:

Przestrzenie metryczne[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, d_X) i (Y, d_Y) będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie f\colon X \to Y nazywa się izometrią (bądź odwzorowaniem zachowującym odległość, jeżeli dla dowolnych a, bX spełniony jest warunek

d_Y(f(a), f(b)) = d_X(a, b).

Odwzorowanie zachowujące odległość jest koniecznie iniektywne (różnowartościowe) oraz ciągłe. Każda izometria przestrzeni metrycznych jest zanurzeniem homeomorficznym.

Przestrzenie metryczne X i Y nazywa się izometrycznymi, jeżeli istnieje izometria z X na Y. Zbiór izometrii przestrzeni metrycznej w siebie jest grupą względem składania przekształceń nazywana grupą izometrii będącą podgrupą grupy wszystkich bijekcji danej przestrzeni metrycznej w siebie.


Każda przestrzeń metryczna jest izometryczna z gęstym podzbiorem zupełnej przestrzeni metrycznej.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

 (x, y) \to (x, -y)
jest izometrią.
(x_1, x_2, x_3, \dots) \to (0, x_1, x_2, x_3, \dots)
jest izometrią, lecz nie jest surjekcją.

Izometrie liniowe[edytuj | edytuj kod]

Dla danych dwóch przestrzeni unormowanych V oraz W izometrią liniową nazywa się takie przekształcenie liniowe f\colon V \to W, które zachowuje normę:

\|f(v)\| = \|v\|

dla wszystkich v \in V. Izometrie liniowe są przekształceniami zachowującymi odległości w powyższym sensie. Są one izometriami globalnymi wtedy i tylko wtedy, gdy są suriekcjami.

Z twierdzenia Mazura-Ulama wynika, że dowolna izometria między przestrzeniami unormowanymi nad \mathbb R jest przekształceniem afinicznym.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

  • Dla ustalonej dodatniej liczby rzeczywistej \varepsilon odwzorowanie f\colon X \to Y przestrzeni metrycznych nazywa się \varepsilon-izometrią (lub aproksymacją Hausdorffa), jeżeli
    1. dla x, x^' \in X zachodzi |d_Y(f(x), f(x^')) - d_X(x, x^')| < \varepsilon oraz
    2. dla każdego y \in Y istnieje punkt x \in X, że d_Y(y, f(x)) < \varepsilon.
Innymi słowy \varepsilon-izometria zachowuje odległości wewnątrz \varepsilon i nie pozostawia żadnego elementu przeciwdziedziny w odległości większej niż \varepsilon od obrazu elementu dziedziny. Uwaga: od \varepsilon-izometrii nie wymaga się, by były ciągłe.

Twierdzenie Beckmana-Quarlesa[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Beckmana-Quarlesa mówi, że dowolne przekształcenie przestrzeni euklidesowej wymiaru co najmniej dwa w siebie, które zachowuje własność bycia w odległości jednostkowej musi być izometrią.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Marek Kordos, Lesław Włodzimierz Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: 1976.