Równowaga i równoważność

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równowaga i równoważność – bliskoznaczne pojęcia mechaniki teoretycznej dotyczące działania układu sił skupionych na idealnie sztywne ciała fizyczne[1][2][3]. Mówimy, że dwa różne układy sił są równoważne, gdy ich działanie na to samo ciało, w tych samych warunkach, wywołuje identyczne skutki. Jeżeli to działanie jest zerowe, mamy do czynienia ze stanem równowagi ciała. W tym stanie siły działające na ciało równoważą się, tzn. pozostają w równowadze.

Redukcja układu sił do punktu[edytuj | edytuj kod]

W przypadku ogólnym dowolny układ sił skupionych działających na ciało nieskończenie sztywne w przestrzeni fizycznej, można zredukować równoważnie do dwu wektorów[4].

Pierwszy z tych wektorów to tzw. wektor główny układu który jest określony wzorem

(1)

Ze wzoru tego wynika, że ten wektor nie zależy od tego jaki punkt obieramy za biegun redukcji układu sił.

Natomiast drugi wektor tzw. główny wektor momentu układu, może być obliczony tylko wówczas, kiedy znany jest biegun redukcji określony jego współrzędnymi w przyjętym układzie współrzędnych Najczęściej przyjmuje się, że biegun ten pokrywa się z początkiem układu. W tym przypadku wektor jest określony wzorem

(2)

w którym jest wektorem wodzącym początku wektora

Wektory i otrzymane w wyniku równoważnej redukcji wyjściowego układu sił do punktu są najprostszym równoważnikiem tego układu.

Opisany sposób redukcji dowolnego układu sił skupionych został dokonany przy arbitralnie przyjętym położeniu bieguna od przyjęcia którego zależy wektor główny momentu układu. Powstaje więc pytanie, w jaki sposób zmiana położenia bieguna wpływa na wynik redukcji danego układu sił.

Ze wzoru (1) wynika, że wektor główny nie zależy od położenia bieguna i nie zmienia ani swojej normy, ani kierunku. Ten wektor jest więc (pierwszym) niezmiennikiem zmiany położenia bieguna Okazuje się, że istnieje jeszcze drugi niezmiennik tej zmiany. Jest nim iloczyn skalarny Niezmienniczość tę można łatwo wykazać.

Rys. 1 – redukcja układu sił do skrętnika

Niech nowym biegunem redukcji będzie punkt o wektorze wodzącym Wektory i wyznaczają płaszczyznę Redukcja do punktu prowadziła do uzyskania wektorów i a redukcja do punktu – do uzyskania wektorów i Pomiędzy tymi wektorami zachodzi prosty związek

Mnożąc skalarnie ten związek przez otrzymujemy

Można teraz postawić pytanie: gdzie powinien znaleźć się punkt tak, aby było

Biorąc pod uwagę prostopadłość wektorów, otrzymujemy:

Odległość tę odmierzamy w kierunku wyznaczonym przez wektor Wektor określa wzór

Redukcja układu sił do tak wyznaczonego punktu pozwala wyznaczyć dwa wektory: wektor główny i tzw. skrętnik układu (rys. 1).

Redukcja analityczna[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy w trójwymiarowej przestrzeni fizycznej nieskończenie sztywną bryłę materialną, na którą działa w sposób statyczny skończona liczba sił skupionych. Analityczny opis działania tych sił wymaga podania współrzędnych każdej siły i jej wektora wodzącego liczonego od początku przyjętego układu współrzędnych kartezjańskich do punktu przyłożenia siły Przyjmiemy zatem, że

W rozważanym przypadku układ sił sprowadzamy do wektora głównego i momentu głównego liczonego względem punktu przy czym

(1a)
(1b)

Wzory (1) rozpisane we współrzędnych przybierają postać sześciu formuł

(2a)
(2b)
(2c)

Warunki równowagi układu można teraz zapisać albo wektorowo

(3) i

albo we współrzędnych

(4)

korzystając ze wzorów (2).

Interpretacje graficzne[edytuj | edytuj kod]

Przedstawimy teraz metody graficzne rzadziej stosowane, a ponadto trudniejsze w realizacji analitycznej. Celem prezentacji jest pokazanie różnych wariantów redukcji ogólnych układów sił do prostszych równoważników.

Metoda 1[edytuj | edytuj kod]

Dane są wektory i otrzymane w wyniku redukcji pewnego układu sił do dowolnie obranego punktu Te dwa wektory można teraz zredukować równoważnie do dwóch sił i nie leżących w jednej płaszczyźnie. O takich siłach możemy powiedzieć, że tworzą dwójkę zwichrowaną (wichrowatą).

Rys. 2 – redukcja układu sił do „dwójki zwichrowanej”

W tym celu przez punkt prowadzimy płaszczyznę prostopadłą do wektora Na płaszczyźnie tej umieszczamy parę sił o momencie równym i tak aby punkt leżał na linii działania jednej z nich. Sumujemy dwa współśrodkowe wektory i i otrzymujemy w ten sposób dwa wektory i nie leżące na jednej płaszczyźnie, czyli zwichrowane i równoważne dwom wektorom wyjściowym i

Metoda 2[edytuj | edytuj kod]

Opiszemy teraz inny sposób redukcji dowolnego układu sił działających na ciało idealnie sztywne, do równoważnego układu trzech sił działających w punktach nie leżących na jednej prostej.

Siły skupione działają na ciało w punktach Jeżeli teraz przez każdy punkt poprowadzimy trzy proste wyznaczone przez odcinki to każdą z sił można rozłożyć na trzy składowe przechodzące przez punkty według reguły równoległościanu zbudowanego na wierzchołkach Te składowe można przesunąć po liniach ich działania odpowiednio do punktów W ten sposób w punktach utworzone zostają trzy pęki po sił koncentrycznych, które można zesumować, otrzymując trzy poszukiwane wektory

Na to, aby układ pozostawał w równowadze, muszą być spełnione warunki

Metoda 3[edytuj | edytuj kod]

Jako trzeci ze sposobów redukcji można przytoczyć postępowanie opisane w pkt. 1. Dodatkowo trzeba tu podkreślić, że wyznaczony tam punkt może być przesuwany po prostej równoległej do osi układu współrzędnych. Prosta ta nosi nazwę osi centralnej układu.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. А.И. Некрасов, Курс ҭеореҭическоӣ меаники, t. 1, Гос. Издаҭ. ҭөҳнико-теоретичөскоӣ литераҭуры, Мосҝва-Ленинград 1950.
  2. G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN Warszawa 1960.
  3. И.М. Воронҝов, Ҟурс ҭеореҭической механики, Гос. Издаҭ. ҭөҳнико-теоретичөскоӣ литераҭуры, Москва 1954.
  4. L.D. Landau, E.M. Lifšic, S.L. Bażański, Mechanika, PWN, Warszawa 2006.